Proba d'après kangourou 2007

[sad13]

Bonsoir, j'ai un peu de mal avec cet exo assez amusant, issu de Kangourou 2007:

Il est proposé dans le chapitre Loi binômiale :

jasmine, Karine et Lucas jettent successivement un dé: si Jasmine obtient 1,2 ou 3, elle gagne; si karine fait 4 ou 5, c'est elle qui gagne; et si Lucas fait 6,c'est lui qui gagne.
Ils jouent chacun leur tour en commençant par Jasmine, jusqu'à ce que l'un des trois gagne. Quelle est la probabilité que Lucas gagne?

[sad13]

Ce que je saisis est que pour Lucas gagne, il faudrait que Jasmine n'obtienne pas la face 1, ni 2 , ni 3 puis que Karine n'obtienne pas la face 4 ni 5 et que Lucas obtienne la face 6 mais ceci est possible au bout de 1 ou 2 ou n parties d'où la loi binômiale donc je pense que le succès p ici est le nombre de parties au bout duquelles Lucas gagne? ?

[chan79]

Ce que je saisis est que pour Lucas gagne, il faudrait que Jasmine n'obtienne pas la face 1, ni 2 , ni 3 puis que Karine n'obtienne pas la face 4 ni 5 et que Lucas obtienne la face 6 mais ceci est possible au bout de 1 ou 2 ou n parties d'où la loi binômiale donc je pense que le succès p ici est le nombre de parties au bout duquelles Lucas gagne? ?

Bonjour
je suggère de chercher d'abord la proba pour que Lucas gagne au premier tour, puis la proba pour qu'il gagne au second ...., au n ième tour

[sad13]

Bonsoir, ben il gagne au premier tour si Jasmine n'obtient pas la face 1, ni 2 , ni 3 puis que Karine n'obtienne pas la face 4 ni 5 et que Lucas obtienne la face 6 donc

P(succès au 1er tour)= P(4 ou 5 ou 6)*P(1 ou 2 ou 3 ou 6)*P(6)
=3/6*4/6*1/6=1/18 ?

[chan79]

Bonsoir, ben il gagne au premier tour si Jasmine n'obtient pas la face 1, ni 2 , ni 3 puis que Karine n'obtienne pas la face 4 ni 5 et que Lucas obtienne la face 6 donc

P(succès au 1er tour)= P(4 ou 5 ou 6)*P(1 ou 2 ou 3 ou 6)*P(6)
=3/6*4/6*1/6=1/18 ?

OK
et pour le gain de Lucas au second tour?

[sad13]

Ben c'est:

P(succès au 2d tour)= P(4 ou 5 ou 6)*P(1 ou 2 ou 3 ou 6)*(1-P(6))+ P(4 ou 5 ou 6)*P(1 ou 2 ou 3 ou 6)*P(6)

[chan79]

Ben c'est:

P(succès au 2d tour)= P(4 ou 5 ou 6)*P(1 ou 2 ou 3 ou 6)*(1-P(6))+ P(4 ou 5 ou 6)*P(1 ou 2 ou 3 ou 6)*P(6)

il faut qu'ils perdent tous les 3 au premier tour, que les deux premiers perdent au second et que Lucas gagne au second
((3/6)*(4/6)*(5/6) ) * ( (3/6)*(4/6)*(1/6))
soit
5/18 * 1/18
et pour qu'il gagne au troisième ? ( ensuite, on passera à n)

[sad13]

Il faut que les trois perdent au premier tour ainsi qu'au second puis que les deux premiers joueurs perdent au troisième tour et que Lucas y gagne

[chan79]

Il faut que les trois perdent au premier tour ainsi qu'au second puis que les deux premiers joueurs perdent au troisième tour et que Lucas y gagne

c'est bien ça donc (5/18)²*(1/18)
et pour que Lucas gagne au n ième tour ?

[sad13]

Ils perdent aux n-1 tours et au nème les deux premiers perdent et Lucas gagne?

[chan79]

Ils perdent aux n-1 tours et au nème les deux premiers perdent et Lucas gagne?

donc, quelle est, en fonction de n, la probabilité pour que Lucas gagne au n ième tour ?

[chan79]

donc, quelle est, en fonction de n, la probabilité pour que Lucas gagne au n ième tour ?

Finalement, la proba que Lucas gagne est
1/18 + 5/18*1/18 +(5/18)²*1/18 +(5/18)³*1/18 + ...

en posant a=5/18
on trouve
1/18(1+a+a²+...)=1/18*(1/(1-5/18))=1/13
je te suggère de calculer les probas pour les deux autres gagnent

[Lostounet]

Encore faut-il réussir l'exercice en moins de 2 minutes :p

[sad13]

@Lostounet: j'ai le droit de faire d'autres trucs @ coté non? Un peu voire trop déplacé ton com

Merci chan pr votre aide, l'exo nous demande la proba que Lucas gagne , pourquoi calculer celle des autres?

Si on veut synthétiser avec la loi binômiale, je ne vois que désignera X la v.a?

[chan79]

Merci chan pr votre aide, l'exo nous demande la proba que Lucas gagne , pourquoi calculer celle des autres?

Si on veut synthétiser avec la loi binômiale, je ne vois que désignera X la v.a?

On peut calculer les autres probas "pour le plaisir" ...
et aussi pour constater que la somme des trois est égale à 1
Il est donc quasi-impossible que personne ne gagne
Cordialement

[sad13]

Ok je vais les calculer, cela dit:

la proba que Lucas gagne est celle ci: 1/18(1+a+a²+...)=1/18*(1/(1-5/18))=1/13

Il n'y a donc pas de Loi binomiale?! Pourtant l'exo est classé dans ce chapitre, pourrait-on considérer le nombre de pertes de Jasmine ou karine et la proba que Lucas gagne au n-ème tour serait P(X=n) avec X désignant le nombre de tours perdus, qu'en pensez vous?

Merci beaucoup

[chan79]

Ok je vais les calculer, cela dit:

la proba que Lucas gagne est celle ci: 1/18(1+a+a²+...)=1/18*(1/(1-5/18))=1/13

Il n'y a donc pas de Loi binomiale?! Pourtant l'exo est classé dans ce chapitre, pourrait-on considérer le nombre de pertes de Jasmine ou karine et la proba que Lucas gagne au n-ème tour serait P(X=n) avec X désignant le nombre de tours perdus, qu'en pensez vous?

Merci beaucoup

Ca ne m'est pas venu à l'idée d'utiliser la loi binômiale ici, mais je ne dis pas que c'est impossible.
Si je trouve quelque chose dans ce sens, je te mets un com
A+

[sad13]

Je reviens au post de 15h50 d'hier; ((3/6)*(4/6)*(5/6) ) * ( (3/6)*(4/6)*(1/6))
soit
5/18 * 1/18

En fait, j'avais fait pareil mais en additionnant; on multiplie car c'est "et" et non pas "ou" et le succcès au 1er tour est indépendant avec celui du second?

Merci

[chan79]

Je reviens au post de 15h50 d'hier; ((3/6)*(4/6)*(5/6) ) * ( (3/6)*(4/6)*(1/6))
soit
5/18 * 1/18

En fait, j'avais fait pareil mais en additionnant; on multiplie car c'est "et" et non pas "ou" et le succcès au 1er tour est indépendant avec celui du second?

Merci

c'est ce que j'avais vu. Tu étais trop proche du résultat.
* à la place de + et c'est OK

[Lostounet]

@Lostounet: j'ai le droit de faire d'autres trucs @ coté non? Un peu voire trop déplacé ton com

Je voulais dire que l'épreuve du Kangourou dure en tout 50 minutes, avec 25 questions ce qui fait 2 minutes maximum par question.
Faut être très rapide.