Preuve d'hyperbole corsée

[lanik]

bonjour à tous:

donc voilà, j'ai un exercice que je n'arrive pas à achever sur les hyperboles, pourriez-vous m'aider, svp?


voilà l'énoncée: Sur une hyperbole H, on sélectionne le foyer F et le sommet P du même côté du "point centrale".
La perpendiculaire en F sur le grand axe coupe l'hyperbole en Q et Q'. On prend encore sur la branche de P un point arbitraire D différent de P et on nomme D' sa projection sur l'axe principale.

Prouver que la surface d'un carré avec comme mesure |DD'| est plus grande que la surface d'un rectangle avec comme mesures |QQ'| et |PD'|.


mon travail:pour chercher la surface du carré, j'ai d'abord du calculer la distance DD', et avec la formule de distance j'ai trouvé (d²-a²)^(1/2). La surface étant le carré de la distance, est d²-a².

Ensuite j'ai recherché de la même façon la surface du rectangle et j'ai trouver (a-d)*(b^4/a)

Et c'est la que je ne sais plus quoi faire. Ce ne sont que des lettre qui se suivent, et même si ont peut dire que l'un est plus grand que l'autre, il manque d'autre donnée comme le a et le b.

l'image:http://www.ilemaths.net/img/forum_img/0476/forum_476315_1.jpg

merci d'avance pour vôtre aide

[st00pid_n00b]

Salut,

Le but est de montrer que c'est toujours vrai, quels que soient l'hyperbole et le choix de D. Je ne trouve pas pareil que toi pour les aires mais je suis rouillé sur les coniques. Déjà je voudrais m'assurer des notations que tu utilises:

L'hyperbole est d'équation x²/a² - y²/b² = 1
L'abscisse de D est d avec d > a

Si c'est le cas alors on a les points:
P(a ; 0)
F(c ; 0) avec c = sqrt(a²+b²)
D'(d ; 0)

Q et Q' ont pour abscisse c, on calcule leur ordonnée:
c²/a² - y²/b² = 1
y² = b²(c²/a² - 1)
y² = b²((a²+b²)/a² - 1)
y² = b²*b²/a²
y² = b^4/a²
y = +/- b²/a
Donc Q(c ; b²/a) et Q'(c ; -b²/a)

On trouve de même pour D:
D(d ; sqrt(d²-a²)*b/a)

Ça me donne pour le rectangle: (d - a)*2b²/a
Et le carré: (d² - a²)*b²/a²

En faisant le quotient carré/rectangle on simplifie pas mal de choses et on trouve: (d + a)/(2a)

On conclut en utilisant que d > a.