Pb pour un exercice d'un dm

[seblemyxdu58]

Bonjour,
j'ai besoin de votre aide pour un exercice dont j'arrive pas a m'en sortir.

enoncé:
le but de l'exercice est de calculer S(n)=1²+2²+3²+...+n²

a) déterminer un polynôme P de degré 3 tel que pour tout x réel on ait :
P(x+1)-P(x)=x²

b)exprimer ensuite p(2)-p(1) ; p(3)-p(2) ; ... ; p(n)-p(n-1)
En deduir alors S(n)


j'espere que vous pourrez m'aider.
merci.

[Monsieur23]

Bonjour,

Pour trouver un polynôme, tu en prends un quelconque de degré 3



Tu calcules P(x+1) - P(x), et tu identifies les coefficients pour trouver x².

Voilà !

[seblemyxdu58]

a(x+1)^3+b(x+1)²+c(x+1)+d-ax^3-bx²-cx-d=x²
3ax²+3ax+a+2bx+b+c=x²

mais après je ne vois pas comment déterminer les coeficients.

merci de m'aider.

[emdro]

a(x+1)^3+b(x+1)²+c(x+1)+d-ax^3-bx²-cx-d=x²
3ax²+3ax+a+2bx+b+c=x²

mais après je ne vois pas comment déterminer les coeficients.

merci de m'aider.

Tu as fait une erreur dans ton développement
(3a)x²+(3a+2b)x+(a+b+c)

Le plus difficile était de penser à bien écrire ce polynôme


Si tu veux que ce soit égal à x², il faut que (3a)=1, (3a+2b)=0 et (a+b+c)=0 (IDENTIFICATION)

NB J'ai corrigé: j'avais fait des erreurs: désolé!

[seblemyxdu58]

merci,
on trouve donc a=1/3 ; b=-1/2 ; c=1/6 et d est quelconque

[emdro]

Oui parfait.
Tu as réussi la suite?

[seblemyxdu58]

p(2)-p(1)=1
p(3)-p(2)=4
p(n)-p(n-1)=(n-1)²

Sn=-P(1)+p(n+1)

c'est ça?

[emdro]

Parfait, Trop fort!

[seblemyxdu58]

encore merci emdro