Positions de courbes et réflexion besoin d'aide

[chipine]

J'ai un dm a finir pour demain et j'y arrive pa C'est sur les fonctions puissance. Je cite:

On appelle Ta la courbe d'équation y=x puissance a ou a appartient à l'ensemble des réels strictement positifs, Ca la courbe d'équation y=x puissance 1/a et D la droite d'équation y=x.

1) Soit M un point de Ca. Sémontrer que le point M', image de M par la réfléxion s d'axe D, est un point de Ta. On a donc s(Ca) C Ta

2) Démontrer que s(Ca) = Ta.

3) Etudier la position relative des courbes Ca et Cb si a est inférieur à b er ou a et b sont 2 réels.

Si vous pouvez m'aider je vous serez trés reconnaissant. Merci d'avance!

[armor92]

J'ai un dm a finir pour demain et j'y arrive pa C'est sur les fonctions puissance. Je cite:

On appelle Ta la courbe d'équation y=x puissance a ou a appartient à l'ensemble des réels strictement positifs, Ca la courbe d'équation y=x puissance 1/a et D la droite d'équation y=x.

1) Soit M un point de Ca. Sémontrer que le point M', image de M par la réfléxion s d'axe D, est un point de Ta. On a donc s(Ca) C Ta

Bonjour,

Pour le 1)
Soit (x,y) les coordonnées de M
Soit (x',y') les coordonnées de M'

Démontrons que x' = y et y' = x

Pour cela, on démontre que le milieu du segment [MM'] est sur D et [MM'] est orthogonal à D.

Le milieu du segment [MM'] a pour coordonnées ((x+y)/2, (y+x)/2) donc est sur la droite D.

Soit le vecteur directeur de la droite D.
a pour composantes (1,1)
. = y-x + x-y = 0
Donc est orthogonal à , c'est à dire à D.

On a donc démontré que M' image de M par la réflexion s d'axe D a pour coordonnées (y,x)

M est un point de Ca. x et y vérifie le relation : y =
Cette relation peut s'écrire : = x
Le point M' de coordonnées (y,x) est donc sur la courbe Ta

[armor92]

2) Démontrer que s(Ca) = Ta.

On a démontré dans le 1) que s(Ca) C Ta

Pour démontrer que s(Ca) = Ta, démontrons que Ta C s(Ca).
Pour cela, on doit démontrer que tout point de Ta est l'image d'un point de Ca par s.

Soit M(x,y) un point quelquonque de Ta.
x et y vérifient la relation : y = (1)

La relation (1) peut s'écrire : x = (2)
Soit M' le point de coordonnées (y,x). On a s(M) = M' et s(M') = M

La relation (2) nous indique que M' est sur Ca

Le point M est donc l'image par s du point M' qui est sur Ca. CQFD

[armor92]

3) Etudier la position relative des courbes Ca et Cb si a est inférieur à b er ou a et b sont 2 réels.

On doit distinguer le cas ou x 1
On suppose que a 1/b

Pour comparer et , on étudie la différence :
= , remarque > 0

Si x 1,
> 1, donc > 0,

Pour x > 1 et a < b, la courbe Ca est au dessus de la courbe Cb