Plus petit élément

[lapras]

Bonjour à tous, pourquoi la propriété disant que tout ensemble non vide de IN admet un plus petit élément ?
Est ce possible de le démontrer au niveau lycée ?

[Joker62]

Soit P(n) la propriété : Tout ensemble contenant n éléments de N possède un plus petit élément.

Vérifions que P(1) est vrai :
Donnons nous donc un ensemble de N contenant 1 seul élément : I(1) = { k }
Alors I possède un plus petit élément qui est k

Soit un certain k € N tel que la propriété est vrai au rang k

Soit I(k+1) = I(k) U { n_k+1 }
Possède-t-il un plus petit élément ???

Voilà tu peux finir

[lapras]

Soit I(k+1) = I(k) U { n_k+1 }

I(k) possède un plus petit élément et l'ensemble {n_k + 1} possède un plus petit élément : 1.
Donc l'ensemble I(k+1) a un plus petit élément

[Joker62]

J'aurais plutot dit que I(k) possède un plus petit élément n_0 qui est soit plus grand soit plus petit que l'élement n_(k+1)
Donc forcément I(k+1) possède un plus petit élément.

[lapras]

Ok :)
Mais pourquoi cette propriété est admise ? :triste: