Petit problème géométrique

[Ludo1be]

Bonjour,

Je m'amuse à résoudre une série de problèmes géométriques afin de travailler ma géométrie et l'un d'entre eux me pose problème...

Le voici:
Une piste de course a la forme d'une couronne ciculaire. Le grand cercle admet une corde PQ de 20m tangente à R au petit cercle. Que vaut en mètre carrés l'aire de la piste arrondie?

En traçant une perpendiculaire à R, je peux faire apparaitre des triangles rectangles mais après aucune idée...

[Dlzlogic]

Bonjour,
Connaissez-vous le théorème :
"Dans un triangle rectangle, la hauteur est moyenne proportionnelle entre les segments qu'elle détermine sur l'hypoténuse". ?

[Ludo1be]

Oui, du coup je peux calculer le rayon du cercle au centre
ce rayon r est donc égal à r² = 100 donc r = 10

Cependant au vu de la question, on me demande l'aire de la piste autour de ce cercle non?

[Dlzlogic]

Je ne comprends pas comment vous pouvez dire r²=100.
Traduisez en langage mathématique le théorème que j'ai cité, c'est à dire soit le triangle rectangle ... la hauteur ..., alors ....

[Ludo1be]

Je ne comprends pas comment vous pouvez dire r²=100.
Traduisez en langage mathématique le théorème que j'ai cité, c'est à dire soit le triangle rectangle ... la hauteur ..., alors ....

C'est la relation métrique, non?

Soit h la hauteur d'une triangle rectangle issue de son hypoténuse. Le carré de la mesure de la hauteur est égal au produit des 2 côtés qu'elle détermine sur l'hypoténuse, non?

De là je vois pas trop comment utiliser cela dans ce cas :/

[Black Jack]

Soit O le centre des 2 cercles.

Dans le triangle ORQ rectangle en R :
OQ² = OR² + RQ²
OQ² = OR² + (PQ/2)²
OQ² - OR² = 100

Aire de la piste = Pi.(OQ² - OR²) = ...

:zen:

[leon1789]

Le voici:
Une piste de course a la forme d'une couronne ciculaire. Le grand cercle admet une corde PQ de 20m tangente à R au petit cercle. Que vaut en mètre carrés l'aire de la piste arrondie?

Il suffit de constater que R est milieu de PQ , de connaître la formule de l'aire d'un disque ( pi.rayon² ) et d'appliquer une seule fois le théorème de Pythagore. Alors l'aire de la couronne (la piste de vitesse) se calcule facilement.


Arf, grillé par Black Jack... :zen:

[Ludo1be]

Bien compris, merci à vous!

[leon1789]

Traduisez en langage mathématique le théorème que j'ai cité, c'est à dire soit le triangle rectangle ... la hauteur ..., alors ....

Curieux de connaître la méthode de Dlzlogic.

[Dlzlogic]

Pour Léon.
Bon, puisque c'est un exercice et que notre ami a tracé des triangles rectangles, on peut supposer qu'il a tracé le triangle rectangle de sommet P (ou Q) et admettant comme hypoténuse la médiatrice de PQ, qui passe par H milieu de PQ, point de tangence de PQ avec le petit cercle et projection de P que la médiatrice. Soit M et N les intersections de cette médiatrice avec le grand cercle.
donc le triangle MPN est rectangle en P puisqu'il est inscrit dans un demi-cercle, et sa hauteur
PH² = HM * HN (ce sont des distances)
PH=10
HM=R-r
HN= 2*r + (R-r) = R+r
100 = (R-r) * (R+r) = R² - r²
etc.

Etant donné qu'il s'agit d'un exercice avec un cas particulier, il me parait plus intéressant de raisonner avec des méthodes générales.
En d'autres termes, je ne pense pas que ce soit le résultat qui est important, mais la méthode de recherche pour y parvenir.

[leon1789]

Pour Léon.
Bon, puisque c'est un exercice et que notre ami a tracé des triangles rectangles, on peut supposer qu'il a tracé le triangle rectangle de sommet P (ou Q) et admettant comme hypoténuse la médiatrice de PQ, qui passe par H milieu de PQ, point de tangence de PQ avec le petit cercle et projection de P que la médiatrice. Soit M et N les intersections de cette médiatrice avec le grand cercle.
donc le triangle MPN est rectangle en P puisqu'il est inscrit dans un demi-cercle, et sa hauteur
PH² = HM * HN (ce sont des distances)
PH=10
HM=R-r
HN= 2*r + (R-r) = R+r
100 = (R-r) * (R+r) = R² - r²
etc.

:++: Je pense que je n'aurais jamais pensé à étudier le diamètre [MN].
Merci !

Etant donné qu'il s'agit d'un exercice avec un cas particulier, il me parait plus intéressant de raisonner avec des méthodes générales.
En d'autres termes, je ne pense pas que ce soit le résultat qui est important, mais la méthode de recherche pour y parvenir.

Certes, ce n'est pas le résultat qui compte, et l'important (pour moi), c'est de raisonner correctement, en utilisant des théorèmes classiques (Pythagore d'un coté, ou moyenne proportionnelle de l'autre) et enfin donner des preuves complètes (et concises si possible). Je ne comprends pas vraiment ce que tu veux dire par "raisonner avec des méthodes générales". C'est quoi une méthode générale ? Est-ce un théorème classique ?

[Ludo1be]

Je ne sais pas si je dois recréer un post ou si je peux poster ce problème à la suite (ça concorde avec le sujet):

Un carré est surmonté par un triangle équilatéral. Ils ont un côté commun de longueur 10 et sont inscrits dans un cercle de sorte que le carré a deux de ses sommets sur le cercle et que le triangle a un seul de ses sommets sur le cercle. Que vaut le rayon de ce cercle?


Je me demande vraiment comment faire... A vu d'oeil je dirais 10 mais IMPOSSIBLE de le justifier.

[Dlzlogic]

Je ne comprends pas vraiment ce que tu veux dire par "raisonner avec des méthodes générales". C'est quoi une méthode générale ? Est-ce un théorème classique ?

Pour moi, le principe est le suivant :
- soit on apprend (secondaire ou supérieur) à résoudre des exercices types. Lorsqu'on est confronté à un problème qui ne correspond pas à un truc déjà vu : catastrophe.
- soit on apprend un ensemble de notions, théorèmes etc. et les exerces ne constituent qu'un entrainement, juste pour assimiler le cours.
Quand j'étais jeune, les devoirs n'étaient pas constitués de plusieurs exercices, mais d'un problème. Il n'était évidemment pas question de dire "mais c'est pas le cours qu'on vient de voir". Tu diras, le résultat n'est pas terrible, il suffit de voir mon niveau d'incompétence. Mais 50 ans après, je me souviens encore de tout ça.
Le propre d'un ingénieur est de savoir chercher, imaginer, construire etc. Si un ingénieur n'est capable que de refaire ce qu'on lui a appris, bonjour les dégâts.
Je crois pas beaucoup me tromper en disant que le seul théorème de base en géométrie est Pythagore, et que tout le reste en découle. Si les exercices ne consistent qu'à utiliser les théorèmes de base, et pour ça on donne des exercices qui sont des cas particuliers, je pense que la formation en mathématique est un entrainement à la mémoire et non un entrainement au raisonnement.
Mais là manifestement on frise le "hors-sujet".
Dans le cas précis d'un forum, comme on ignore généralement le niveau de l'interlocuteur, on ne peut que lui rendre service en l'orientant, en le faisant s'exprimer, plutôt qu'en lui donnant la solution. Il pourrait très bien m'arriver (plus maintenant parce que je suis très surveillé) de répondre à un questionneur alors que je ne connais pas la solution. Le simple fait de poser des questions devrait l'amener à trouver lui-même la solution. C'est une technique qui a marché pour moi, alors je suppose qu'elle marche aussi pour les autres.

[chan79]

Je ne sais pas si je dois recréer un post ou si je peux poster ce problème à la suite (ça concorde avec le sujet):

Un carré est surmonté par un triangle équilatéral. Ils ont un côté commun de longueur 10 et sont inscrits dans un cercle de sorte que le carré a deux de ses sommets sur le cercle et que le triangle a un seul de ses sommets sur le cercle. Que vaut le rayon de ce cercle?


Je me demande vraiment comment faire... A vu d'oeil je dirais 10 mais IMPOSSIBLE de le justifier.

Salut
on a tracé la médiatrice de [AE] pour obtenir F.
Montre que DE=EF

[Ludo1be]

Salut
on a tracé la médiatrice de [AE] pour obtenir F.
Montre que DE=EF

Merci d'avoir pris la peine de faire cette belle représentation, ai trouvé grâce a toi!

[Melle Z]

j'ai moi aussi trouvé (je fais les exo proposés parfois pour m'entrainer)

donc j'arrive a l'idée que EF = FA = AD = DE = 10 cm. ok.

mais d'un coup, parce que tout ca est loin, je n'arrive pas a montrer que F est pour autant le centre du cercle.

est ce qu'il y a une regle qui dit qu'une corde est necessairement perpendiculaire au rayon qui la coupe en son milieu?

un peu dans le meme genre que pour les tangentes.....

auquel cas, par la réciproque, on pourrait dire qu'une droite qui coupe en son milieu une corde d'un cercle (ici le segment AB) est un diametre de ce cercle, donc la droite EF est un diametre
or comme EF=FA , F est necessairement le centre du cercle.

mais la regle pour la corde est elle "dite" telle quelle?

[Melle Z]

hmmm... je realise que si une corde est coupée en son milieu et perpendiculairement par une droite dans un cercle, alors forcement cette droite est un des diametres, puisque seuls les diametres sont des axes de symetrie, et que couper en deux de facon perpendiculaire, c'est faire un symetrique!

c'est ca? :-D

[chan79]

hmmm... je realise que si une corde est coupée en son milieu et perpendiculairement par une droite dans un cercle, alors forcement cette droite est un des diametres, puisque seuls les diametres sont des axes de symetrie, et que couper en deux de facon perpendiculaire, c'est faire un symetrique!

c'est ca?

salut
le cercle est circonscrit au triangle ABE. Son centre est le point d'intersection des médiatrices de [AB] et [AE]. Cette dernière passe par D car DA=DE.
Il reste à regarder les angles.

[Black Jack]

Juste pour donner une autre manière (pas jolie dit-on) de résoudre le problème :

Choix du repère :
Origine au milieu du coté du bas du carré.
Axe des abscisses suivant ce coté du varré.
Axe des ordonnées passant par le sommet C du triangle qui est sur le cercle.

On a, alors facilement les coordonnées de 3 points du cercle :

A(-5 : 0) ; B(5 , 0) ; C(0 ; 10 + 10*(V3)/2)

Soit O(Xc ; Yc), le centre du cercle.

OA² = OB² = OC² = R²

(Xc + 5)² + Yc² = (Xc - 5)² + Yc² = Xc² + [10.(1 + (V3)/2) - Yc)]²
*****

(Xc + 5)² + Yc² = (Xc - 5)² + Yc² ---> Xc = 0 (qui était évident)

(5)² + Yc² = [10.(1 + (V3)/2) - Yc)]²

25 + Yc² = 100(1 + 3/4 + V3) + Yc² - 20.Yc.(1 + (V3)/2)

25 = 100(1 + 3/4 + V3) - 20.Yc.(1 + (V3)/2)

10.Yc.(2 + V3) = 150 + 100V3

Yc = (15 + 10V3)/(2 + V3) = (15 + 10V3)*(2 - V3) = 5V3

R² = 5² + (5V3)² = 100

R = 10 unités de longueur

:zen:

[Dlzlogic]

Bonjour,
Ma petite démo :
Effectuons une translation du triangle CDE et de vecteur CB.
On obtient le triangle BAE'. EE' = CB
Le triangle BAE' est équilatéral et égal au triangle CDE;
AE' = DE
On a donc AE' = BE' = CB = EE'.
Le point E' est donc le centre du cercle circonscrit à la figure, et R=10u.