Petit problème de correction

[Rebelle_]

Hello =)

J'ai un petit soucis de compréhension avec un exercice que nous avons fait ce matin en cours et dont ma prof a donné sa correction. Je pense que je n'arrive pas à la comprendre. :/

(NB : les inégalités sont larges sauf si le contraire est précisé ; et V(x) est la racine carrée de x)

La proposition à étudier était la suivante :

"Si f est une fonction définie sur [0, + infini [ telle que 0 < f(x) < V(x) sur [0, + infini [, alors la limite de f(x)/x quand x tend vers + l'infini est 0".


Voici la correction donnée par ma prof :

"Pour x strictement positif on a 0 < f(x) < V(x), donc 0 < f(x)/x < V(x)/x, soit 0 < f(x)/x < 1/V(x).
Or, la limite de 1/V(x) quand x tend vers + l'infini est 0, donc d'après le théorème des gendarmes la limite de f(x)/x quand x tend vers + l'infini est 0".

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Le problème que j'ai avec cette correction est qu'on pose au début "x strictement positif", or d'après l'énoncé 0 est compris dans l'ensemble de définition de la fonction et les inégalités sont aussi définies pour x = 0. Je ne vois donc pas pourquoi on aurait le droit de diviser par x alors que celui-ci peut être nul ? Si on pose un x strictement positif et qu'on fait une preuve avec ça on ne respecte pas l'énoncé et donc la conclusion n'est pas vraie dans les conditions de l'énoncé.

Qu'en pensez-vous ? J'aurais dû le demander à ma prof mais je n'ai pas eu le temps ^^'

Merci beaucoup à vous et bonne fin de journée ! :)

[Sylviel]

Tu regardes une limite en +oo :id: : RAF de savoir ce qu'il y a au début, c'est au bout que cela t'intéresse. Pour pousser à peine plus loin la propriété est vraie dès qu'il existe un constante M (aussi grande que tu veux) telle que pour tout x>M (c'est ça qui est important : tu as une demi droite sur laquelle c'est vrai) 0

[Rebelle_]

Alors ça ne gêne pas que l'énoncé impose explicitement que x peut être nul et que l'on divise par x dans la démonstration ? ^^'
Même si je sais qu'on s'occupe d'une limite en + l'infini la démonstration me semble un peu osée :P

[Sylviel]

Non ça ne gêne pas parce qu'on ne divise pas par zéro, on dit :
pour x>0 on a...
on aurait pu dire
pour x>1 000 000 on a ...
la démonstration aurait toujours été correcte

Le problème vient du fait que vous n'avez pas de réelle définition de la limite... Connais tu les quantificateurs et ? Le premier signifie "pour tout" le second signifie "il existe". La vraie définition d'une limite réelle l en +oo est :


Je te laisse réfléchir un peu dessus

[Rebelle_]

Le problème vient du fait que vous n'avez pas de réelle définition de la limite... Connais tu les quantificateurs et ? Le premier signifie "pour tout" le second signifie "il existe". La vraie définition d'une limite réelle l en +oo est :


Je te laisse réfléchir un peu dessus

Oui, en fait je connais aussi cette définition Elle signifie que pour tout epsilon tendant vers 0 par valeurs positives, il existe un M (réel ?) strictement positif tel que pour tout x réel si x est supérieur (ou égal, il me semble) à M alors la valeur absolue de la différence de f(x) et l reste inférieure (ou égale ?) à epsilon.
En gros, si f admet pour limite l en + l'infini alors il existe un M réel tel que si x supérieur ou égal à M (et de facto x assez grand) on ait f(x) - l qui tende vers 0.

C'est ça ? ^^' J'espère avoir bien compris

[Sylviel]

Ouaip c'est presque ça. Déjà pour les supérieur strict ou supérieur ou égal : ça ne change rien... si tu as le strict tu as le large, sinon il suffit de prendre un autre epsilon... Le seul truc dans ton explication c'est que tu dis il existe M tel qu'au delà la différence tende vers 0. Ce n'est pas vraiment ça c'est : dis moi ce que tu considères comme petit (epsilon) et je te dirais à partir de quand (M) la fonction n'est pas loin (|f(x)-l|M le sera aussi...

Donc dans ta démonstration il suffit de bien comprendre cette histoire de pour voir que 0 ou pas 0 ça n'a pas d'importance... Pour faire les manipulations que tu souhaite tu décides de prendre x>0 (et donc M>0), c'est tout !

Au fait tu connais une autre définition de la limite :doh: ?

[Rebelle_]

D'accord, je vois bien la nuance ! J'ai bien fait de ne pas dire à la prof qu'il y avait un problème alors ^^'

Si je connais une autre définition de la limite ? Eh bien je connais - à peu près - celle-là, dont la prof nous a dit que nous l'utiliserions l'année prochaine, et la définition classique de Terminale S "une fonction a pour limite l en + l'infini si tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand".

[Nightmare]

Salut !

Tu remarqueras que la définition quantifié dit exactement ce que dis la définition classique de Terminale S !

[Rebelle_]

Bonjour Nightmare !

Oui en effet ! Notre prof avait d'ailleurs bien insisté là-dessus en nous montrant que ces deux définitions donnaient une approche en tout point comparable, si ce n'est par leur présentation.