[1S] Oscillateur harmonique

[Restefond34]

Bonjour,

J'essaye d'aider mon frère en Première S sur son DM de maths. Cela porte sur la résolution des équations différentielles caractéristiques de l'oscillateur harmonique. Evidemment, tout cela n'est pas explicitement dit car ce n'est pas à son programme mais c'est le cadre de son exo. Le voilà.


Je bloque sur la question 3.c). En effet, pour y répondre, j'aimerais montrer que la fonction g que l'on pose est identiquement nulle, car cela permettrait de conclure. Je sais que g(0)=g'(0)=0 mais à partir de là, comment prouver que g(x)=0 ? J'ai du mal à voir comment utiliser la question 2.
Etant donné qu'il n'a jamais rien fait sur les équations différentielles, je cherche une méthode à sa portée mais ça n'est pas victorieux... Il ne peut donc pas utiliser le théorème de Cauchy qui dirait que 0 et g vérifient l'équation et les mêmes conditions initiales...
Disons que j'ai trouvé une preuve qui marcherait bien, mais elle utilise l'exponentielle, qu'il verra l'an prochain, donc c'est moyen...

Je vous remercie pour votre aide et vous souhaite une bonne soirée !

[Ben314]

Salut,
Normalement, ce que tu doit dire/trouver, c'est :

2)a) Tu calcule g'(x), tu trouve 0 et donc g est constante.
2)b) Si f(0)=f'(0)=0 alors g(0)=0 et, comme g est constante, ça prouve que g(x)=0 pour tout x.
Or g(x) est la somme de deux carrés donc de deux nombre positifs donc g(x) ne peut être nulle que si ces deux nombres sont nuls. Donc en fait f(x)=0 pour tout x et le bilan, c'est que la seule fonction de E telle que f(0)=f'(0)=0, c'est la fonction identiquement nulle.

3)a) Soit on vérifie "complètement à la main" que g est dans E, soit on écrit que g=f-h où f et h sont toute les deux dans E (pour f, c'est par hypothèse et pour h, c'est grâce à la question 1.) et on vérifie facilement que g est dans E.
3)b) Un mini calcul montre que g(0)=g'(0)=0.
3)c) Le bilan de la question 2)b) nous permet d'en déduire que g est identiquement nulle et donc que, pour tout x, on a f(x)=f(0).cos(omega.x)-f'(0)/omega.sin(omega.x) qui est bien de la forme a.cos(omega.x)+b.sin(omega.x) où a et b sont deux constantes.
3)d) Grâce à ça et à la question 1., on en déduit que E est très exactement l'ensemble des fonction de la forme x->f(x)=a.cos(omega.x)+b.sin(omega.x)

[Restefond34]

Bonsoir,

En fait, c'était que la 3c qui m'embêtait mais effectivement, je n'avais pas tilté sur la somme de deux carrés parce que je n'étais pas parti du principe que f était à valeurs réelles !!! Mais comme il est en 1S, c'est implicite !
Merci beaucoup pour votre aide en tout cas !

Bonne soirée (et joyeux Noël!)