Voici l'énoncé:
Soit a et b deux réels tels que 0
Un+1 = racine(UnVn) et Vn+1 = (Un + Vn)/2
1) Montrer que ces suites sont strictement positives.
2) a. Calculer, pour tout n>=0, Vn²+1 - Un²+1.
b. En déduire que, pour tout n >=0, Un <= Vn.
3) Déterminer le sens de variation de chacune des suites.
4) Prouver que, pour tout n>=0, Vn+1 - Un+1 <= (Vn - Un)/2
5)a. Démontrer que les suites (Un) et (Vn) sont adjacentes.
b. En déduire qu'elles convergent vers une même limite L.
(Le réel L, qui ne peut pas être exprimé de façon simple en fonction de a et b, est appelé moyenne arithmético-géométrique de a et de b).
6)a. On prend a = 2 et b = 8.
Déterminer, à l'aide d'un tableur ou d'une calculatrice à partir de quel rang n on a 0<= Vn - Un < 10^-8.
En déduire une valeur approchée à 10^-8 près, de la moyenne arithmético-géométrique de a et de b.
b. Mêmes questions avec a=1 et b= 10 000.
Alors, je n'ai aucun problème jusqu'à la question 5) mais c'est là que ça devient un peu plus difficile. Pour la a., je sais que Un est croissante et Vn décroissante mais je ne sais pas comment procéder pour avoir lim(Vn-Un) = 0. Et du coup je ne peux pas non plus faire la b.
Pour la 6) je bloque aussi, étant donné qu'on n'a pas Un et Vn en fonction de n, je ne sais pas comment faire pour rentrer les suites dans la calculette (j'ai une T.I.).
Merci d'avance.