Montrer que si z est une racine alors z barre aussi

[aidemaths123]

Bonjour,
je recrute votre aide, j'ai besoin de montrer que si z est une racine du polynome alors z barre l'est aussi.

P(z) = z^4 - 8z^3 + 41z^2 - 128z + 400

[vam]

Bonjour
calcule ...

[aidemaths123]

Apres de nombreux calculs, je me retrouve avec une expression très longue.



Je vois bien qu'en factorisant l'expression je suis censé retrouver P(z) cependant c'est hors de mes moyens. J'aimerai savoir s'il est possible de faire moins de calculs ou bien passer par une autre méthode. Merci

[vam]

tu sais que P(z)=0
soit
tu peux donc écrire que
mais

et dans le membre de gauche tu utilises tes résultats sur les conjugués



je te laisse terminer...

[aidemaths123]

Je ne vois pas en quoi cela est censé montrer que z barre est aussi une racine.

En remplaçant z barre par mes résultats sur les conjugués je trouve :



et donc :

[vam]

un peu têtu ? ....

z est racine de P si P(z)=0
si tu arrives à montrer qu'alors ce sera fini

[aidemaths123]

Désolé j'ai quelques difficultés à comprendre

En gros de ce que j'ai compris comme P(z) = 0

alors

donc on retrouve

Ensuite j'aimerai savoir comment on fait.
Merci de m'aider, je sais que ça peut paraître bête mais je ne sais vraiment pas.

[vam]

non
tu supposes que z est solution, ce qui s'écrit P(z)=0
et tu souhaites montrer que est alors solution
pour cela tu exprimes et le but est de montrer que cela vaut 0 également

pour cela l'idée est de dire que si P(z)=0 alors les conjugués de chaque membre sont égaux (ce que j'ai écrit à 19h46)
et tout doucement, en utilisant les propriétés des conjugués, en quelques lignes tu vas arriver à
voilà la démarche

[aidemaths123]

Ok merci donc si je reprends ce que tu as dit.
En quelques lignes ça nous fait :
Si P(z)=0
alors



et donc

[vam]

oui, voilà
le "donc" est très raccourci, mais c'est ça

[aidemaths123]

Ok merci pour ton aide, bonne journée

[vam]

Sur ta feuille, tu dois bien sûr détailler étape par étape
Je t'en prie, bonne journée à toi aussi