Module

[mehdi-128]

Bonjour,

Soit un réel tel que

Je n'arrive pas à montrer que :

[Tuvasbien]

L'énoncé semble faux, le résultat reste vrai si , la condition serait plutôt , traite séparément les cas positif ou négatif

[Lostounet]

L'énoncé semble faux, le résultat reste vrai si , la condition serait plutôt , traite séparément les cas positif ou négatif

Oui mais il veut l'inégalité stricte ( lambda de module 1 donne 1).

[aviateur]

Bonjour
A mon avis c'est et

est une fonction paire.
Il suffit de montrer l'inégalité pour


(Moyenne arithmétique >= Moyenne géométrique )
avec égalité ssi

[mehdi-128]

Merci mais j'aurais jamais pensé à l'inégalité moyenne arithmétique géométrique

[aviateur]

Bon maintenant tu peux étudier la fonction g(x)=x+1/x qu'on voit à tous les coins de rue.

ou encore avec minimum atteint ssi x=1.

Si on veut il y autant de façon que l'on veut pour démontrer cette inégalité.

[mehdi-128]

Il faut montrer que :



Le cas d'égalité se produit si et seulement si : soit

Comme alors d'où le résultat.

[mehdi-128]

Bon maintenant tu peux étudier la fonction g(x)=x+1/x qu'on voit à tous les coins de rue.

ou encore avec minimum atteint ssi x=1.

Si on veut il y autant de façon que l'on veut pour démontrer cette inégalité.

Et la valeur absolue vous en faite quoi ?

[mehdi-128]

Je corrige mon raisonnement. J'ai tout mis au carré et par croissance de la fonction racine carrée on retrouve les valeurs absolues.

Il faut montrer que :



Le cas d'égalité se produit si et seulement si : soit soit

Comme alors d'où le résultat.

[Lostounet]

Si je pose x=lambda

Alors il s'agit de prouver |1+x^2| > 2 |x|
En ayant multiplié les deux membres par une quantité positive.

Le membre de gauche est toujours égal à 1+x^2 (la valeur absolue est inutile).

1+x^2 > 2 |x|

Premier cas, x est positif donc |x|=x

Et on sait que 1+x^2>2x équivaut à (1-x)^2>0 ce qui est toujours vrai.

Deuxième cas 1+x^2>-2x équivalent à (1+x)^2>0

[mehdi-128]

Merci Lostounet !

La suite je dois calculer la dérivée de la fonction définie sur par :

afin de déterminer son maximum...

Je trouve une expression bizarre :

[Lostounet]

Je trouve pas de u en haut et je trouve un carré en haut et en bas avec un moins devant (dérivée négative).

[mehdi-128]

Je ne comprends pas l'erreur dans la dérivée.

Posons et
et



Donc

C'est juste ?

[Lostounet]

Presque
Pourquoi le 2 en haut est parti en bas?
Il doit rester au numérateur

[mehdi-128]

Ah merci !

J'avais une autre question : si le maximum de vaut que vaut le maximum de ?

[Lostounet]

Ah merci !

J'avais une autre question : si le maximum de vaut que vaut le maximum de ?

La racine conserve les variations puisqu'elle est strictement croissante sur R+
C'est le cas de ln ou exponentielle par exemple aussi.

[mehdi-128]

Ah d'accord merci.

En effet, si il existe un tel que

Alors ici ma fonction étant à valeurs positives :

[mehdi-128]

Mais en fait j'ai un doute comment montrer que

Le numérateur est positif car

Mais le dénominateur ?

[Lostounet]

Soit L=Lambda

f(0)=2/(L^2+1)

La limite de f quand u tend vers l'infini est 1/L (justifie-le).

De plus f décroissante sur R+ ... Donc elle passe de 2/(L^2+1) à 1/L donc reste positive...
(Et au passage on pouvait utiliser la fonction f qui à u associe f(u) pour prouver l'inégalité du début! Vu que f(0) forcément plus grand que la limite de f(u) car f décroit et c'est pourquoi 2/(L^2+1)>1/L
Donc 2L< L^2+1 )

[mehdi-128]

Merci ! En fait ma fonction n'est définie que sur donc plus simple.

En effet d'après le tableau de variations :