Mini question convergente

[Rebelle_]

Bonjour :)

J'ai une mini question qui me tracasse :/ Je tchaoupine comme on dit chez nous x)

Soient deux suites (u_n) et (v_n) de N dans R à valeurs strictement positives qui divergent en + l'infini. Montrer, par un contre-exemple, que la suite définie par (u_n/v_n) ne converge pas forcément vers 1.

Je ne vois pas vraiment quel type de contre-exemple donner :/ Pourriez-vous me guider vers une réponse, sans me la donner ? :D :)

Merci beaucoup, bonne fin de week-end =)

[Anonyme]

Pourriez-vous me guider vers une réponse, sans me la donner ?

Ça sera un peu dur ^^

Soit une suite qui tend vers et soit un réel diffèrent de >1

Comment se comporte la suite a l'infini ?

[Arnaud-29-31]

Coucou Rebelle !!

Il y'en a des tas de contre exemples, dire que tend vers 1 en revient à dire que ces deux suites sont équivalentes en .

Prend simplement et pour tout n supérieur à 1.

Comme j'ai donné une réponse, je te laisse en trouver une autre

[Rebelle_]

Coucou Arnaud ;)

Ah oui d'accord je comprends :D Autre exemple, le carré et la racine carrée pour tout n de N* !

Merci :)

[benekire2]

Salut rebelle !!!

Clairement en prenant u(n)=n et v(n)=n² on a un contre exemple.
Ça me fait penser que c'est un contre exemple a ajouter a la liste de ceux que Qmath avait listé :zen: [enfin je crois qu'il n'y est pas]

Bonne journée

[Arnaud-29-31]

Et sinon, d'après toi, si une suite () est telle que , est-ce que cette suite est nécessairement convergente ?

[Rebelle_]

Re :)

D'après moi, si la limite en + l'infini de la différence des termes est nulle alors... ça ressemble fort à ce qu'on appelle le point fixe non ? Vers l'infini les points sont de plus en plus proches et "tournent autour" du point fixe (je m'exprime mal mais je me comprends --').
Mais en même temps, je ne vois pas pourquoi ça ne pourrait pas être aussi vrai pour une suite qui diverge. Je vais essayer de voir si je connais quelque chose qui ressemble à ça. =)

[AL-kashi23]

Re

D'après moi, si la limite en + l'infini de la différence des termes est nulle alors... ça ressemble fort à ce qu'on appelle le point fixe non ? Vers l'infini les points sont de plus en plus proches et "tournent autour" du point fixe (je m'exprime mal mais je me comprends --').
Mais en même temps, je ne vois pas pourquoi ça ne pourrait pas être aussi vrai pour une suite qui diverge. Je vais essayer de voir si je connais quelque chose qui ressemble à ça. =)

'lu,

Tu connais quelque chose qui ressemble à ça, reste plus qu'à le retrouver! Petit indice: Ce n'est pas un truc totalement farfelu et atrocement compliqué ^^ Le fait qu'il y ait une différence de termes pourrait te faire penser à une fonction histoire de s'en débarrasser mais c'est abscons comme indice...

Quand à ton histoire de point fixe, tant que tu te comprends =p

[Rebelle_]

Bonjour =D

Alors tu me fais penser à quelque chose : lorsqu'une suite (u_n) est arithmétique, la différence u_{n+1} - u_n varie indépendamment de n, ça donne une constante. Maintenant que j'y pense, je trouve ça étrange : la limite de cette différence tendrait vers 0 en l'infini, alors que si (u_n) est arithmétique cette différence est une constante qui ne peut pas tendre vers 0, sauf si la raison est 0 et donc que c'est une suite constante telle que u_{n+1} = u_n...

Je m'embrouille je crois x)

[benekire2]

Salut,

En effet si u est arithmétique et que u(n+1)-u(n) tend vers 0 alors c'est que u est constante !

[Rebelle_]

Oui d'accord, c'est ce qui me semblait, et donc ça répond à la question de Al-kashi23 ?

[Anonyme]

Oui d'accord, c'est ce qui me semblait, et donc ça répond à la question de Al-kashi23 ?

Non pas vraiment ..

C'est juste un exemple ou la suite converge pourtant il existe des suites tel que quand qui ne sont pas convergente.

A toi d'en trouver une.

Bonne chance :lol3:

[Olympus]

Salut !

Je ne sais pas comment faire sans te donner la réponse entière donc désolé, mais peut-être que ça t'inspirera pour trouver d'autres contre-exemples : .

Du coup : , mais n'est pas convergente .

Pour ce qui est de ton idée sur la suite arithmétique, euh, non . Ton exemple dit juste que si c'est une suite arithmétique, et qu'on a la limite de deux termes successifs qui est nulle en +infini, alors c'est une suite constante, et du coup elle converge, mais ceci ne prouve ni contredit l'énoncé initial .

[benekire2]

Oui évidemment, pour une suite arithmétique on a pas trop le choix, maintenant si on s'enlève cette condition, on peut en trouver qui divergent telles que u(n+1)-u(n) --> 0 comme le montre Olympus ,

[Nightmare]

Pour bien comprendre, il suffit de traduire ce qu'on veut. Dire que u(n+1)-u(n) tend vers 0 dit juste que plus on avance, plus chaque terme est proche du précédent. Pour autant, on voit bien que rien ne leur empêche par exemple d'être aussi grands que l'on veut.

[Anonyme]

La série harmonique convient aussi.

[Nightmare]

Et si je suppose que (un) est définie par récurrence avec f continue disons de [0;1] dans lui même et ? :lol3: