Matrice terminale S

[onvayarriver]

bonjour,
j'ai fait tout un DM mais je bloque à une question depuis plusieurs jours

montrer que quel que soit le vecteur initial P0, la suite (Pn) converge vers P* lorsque n tend vers l'infini
la suite Pn est définie par Pn=P0 x S^n avec Pn un vecteur ligne avec deux coefficients quelconques et S une matrice 3x3 1 0 0
S= 1/2 1/2 0
0 1 0

les pistes que j'ai suivi sont les suivantes mais elles ne me mènent nul part
on a lim (+inf) Pn= P*
donc lim (+inf) P0 x S^n= P*
mais après je coince
merci pour votre aide

[pascal16]

façon "je maîtrise le passage à la limite, même si on ne l'a pas démontré" :
Pn=P0 x S^n

par passage à la limite en +oo
P*=P* x S
système d'équation 3*3 qui ne dépend plus de Po


Vérification : je demande à la calculette Po x S^20, elle va me donner une bonne idée de ce qu'est P*.

[Ben314]

Salut,

Montrer que quel que soit le vecteur initial P0, la suite (Pn) converge vers P* lorsque n tend vers l'infini la suite Pn est définie par Pn=P0 x S^n avec Pn un vecteur ligne avec deux coefficients quelconques et S une matrice 3x3 1 0 0
S= 1/2 1/2 0
0 1 0

Exprimé sous cette forme, c'est on ne peut plus ambiguë comme formulation : faut il montrer que la suite (Pn) est convergente vers un vecteur P* indépendant du vecteur P0 ou bien juste qu'elle est systématiquement convergente vers un certain P* dépendant de P0 ?

Là, la façon dont tu formule le bidule donne fortement l'impression que c'est le premier cas (i.e. que la limite est indépendante du vecteur initial choisi) alors que, si la matrice S c'est c'est complètement faux : la suite converge bien, mais vers un vecteur qui dépend de P0, plus précisément, si , la suite converge vers

[aymanemaysae]

Bonsoir ;

On a : , et .

On peut conjecturer que ,

conjecture qu'on peut démontrer par récurrence .

Soit , donc on a :



donc :

[pascal16]

aymanemayse donne la bonne limite.
vu que la matrice est une matrice probabiliste, Po doit représenter l'état probabiliste à l'étape initiale et donc a+b+c=1

on a donc comme limite P*=(1 0 0 ) qui ne dépend pas de Po.

Si on passe par la limite pas expliquée en TES : P*=P*xS , on a que P*=(x 0 0 ) où x est indéterminé par le calcul.
Mais c'est un état probabiliste donc, on a l'équation x+0+0=1 donc x=1.
On retrouve le même résultat P*=(1 0 0)