Je ne vaut rien en écriture mathématique alors je n'aurai pas les belles représentations que les autres ont.
Je pense me faire comprendre tout de même. Alors la longueur d'arc de e^x entre 0 et 4.
J'intègre de 0 à 4: ;)(1+(e^x)^2)
Changement de variable e^x=tan(z)
J'arrive à ;)(1+tan^2(z)) ce qui est ;)(sec^2(z)) soit l'intégrale de sec(z) qui est ln|sec(z)+tan(z)|
Or je ne parvient pas à faire mon changement de borne et je viens de penser que j'ai oublié de changer dx en dz.
Un petit d'explication serait apprécié.
Merci
Longueur d'arc de [0, 4] de e^x
9 messages
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par Ben314 » 13 Nov 2014, 07:57
Salut,
Si e^x=tan(z) alors
1) x=ln(tan(z)) donc dx=tan'(z)/tan(z)dz=dz/(sin(z)cos(z))
2) z=arctan(e^x) donc lorsque x varie de 0 à 4, z varie de arctan(e^0)=pi/4 à arctan(e^4)
Et de chercher la primitive de
(1+tan^2(z)) "tout seul", c'est à dire sans tenir compte du facteur supplémentaire lié au dx->dz ne sert à rien.
P.S. Perso, je poserais plutôt=\frac{e^z-e^{-z}}{2}\)
(sinus hyperbolique)
qui donne}=Ch(z)=\frac{e^z+e^{-z}}{2})
(cosinus hyperbolique)
Si e^x=tan(z) alors
1) x=ln(tan(z)) donc dx=tan'(z)/tan(z)dz=dz/(sin(z)cos(z))
2) z=arctan(e^x) donc lorsque x varie de 0 à 4, z varie de arctan(e^0)=pi/4 à arctan(e^4)
Et de chercher la primitive de
(1+tan^2(z)) "tout seul", c'est à dire sans tenir compte du facteur supplémentaire lié au dx->dz ne sert à rien.P.S. Perso, je poserais plutôt
qui donne
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Ben314 » 13 Nov 2014, 08:03
Salut,
Si e^x=tan(z) alors
1) x=ln(tan(z)) donc dx=tan'(z)/tan(z)dz=dz/(sin(z)cos(z))
2) z=arctan(e^x) donc lorsque x varie de 0 à 4, z varie de arctan(e^0)=pi/4 à arctan(e^4)
Et de chercher la primitive de(1+tan^2(z)) "tout seul", c'est à dire sans tenir compte du facteur supplémentaire lié au dx->dz ne sert à rien.
P.S. Perso, je poserais plutôt (sinus hyperbolique)
qui donne (cosinus hyperbolique)
Si e^x=tan(z) alors
1) x=ln(tan(z)) donc dx=tan'(z)/tan(z)dz=dz/(sin(z)cos(z))
2) z=arctan(e^x) donc lorsque x varie de 0 à 4, z varie de arctan(e^0)=pi/4 à arctan(e^4)
Et de chercher la primitive de
(1+tan^2(z)) "tout seul", c'est à dire sans tenir compte du facteur supplémentaire lié au dx->dz ne sert à rien.P.S. Perso, je poserais plutôt
qui donne
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par chan79 » 13 Nov 2014, 10:46
Salut
En posant (comme Igaroutt) tan z=
on se ramène à
avec a=arctan(1)=pi/4
et b=arctan(
)
En posant t=tan(z/2), on se ramène à
^2 dt}{t(1-t^2)^2})
avec)
}{2}))
On décompose en éléments simples
^2 dt}{t(1-t^2)^2}=\fra{1}{t}+\fra{1}{(t-1)^2}-\fra{1}{(t+1)^2})
on intègre et on trouve
-\fra{1}{t-1}+\fra{1}{t+1}\]_{a1}^{a2})
soit 54,056 ...
En posant (comme Igaroutt) tan z=
avec a=arctan(1)=pi/4
et b=arctan(
En posant t=tan(z/2), on se ramène à
avec
On décompose en éléments simples
on intègre et on trouve
soit 54,056 ...
par Ben314 » 13 Nov 2014, 11:21
En posant 
on a \)
donc }du\)
et
^2}dx=\int\frac{u^2}{u^2-1}du=\int(1+\frac{1/2}{u-1}-\frac{1/2}{u+1})du<br />=u+\frac{1}{2}\ln(\frac{u-1}{u+1}))
)
-x)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Ben314 » 13 Nov 2014, 11:28
En posant on a donc et
du<br />=u+\frac{1}{2}\ln(\frac{u-1}{u+1}))
-4-\sqrt{2}-\ln(\sqrt{2}-1)\approx 54.05615249)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Ben314 » 13 Nov 2014, 11:41
En posant on a donc et
-4-\sqrt{2}-\ln(\sqrt{2}-1))
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par chan79 » 13 Nov 2014, 14:40
Ben314 a écrit:
Bravo !
J'arrive à la même expression (diminuée de 1, ce qui n'est pas gênant) en remplaçant t dans l'expression trouvée plus haut, à savoir:
Pour exprimer t en fonction de x:
en utilisant la formule:
un peu compliqué quand même :zen:
par Igaroutt » 13 Nov 2014, 16:53
Merci beaucoup à vous deux, cela complète très bien mon problème.
Vous êtes gentils :)
Vous êtes gentils :)
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