Longueur d'arc de courbe

[upium666]

Bonjour à tous et à toutes
Je suis en première S et je vous prie donc de ne pas essayer la démonstration suivante avec des intégrales; on ne pourra utiliser la notation de l'intégrale que pour clore la démonstration.

Soit une application :
telle que :
Soit la courbe représentative de
On veut déterminer, sur un intervalle la longueur de l'arc décrivant l'intervalle I.
On veut plutôt démontrer la formule suivante, en appelant cette longueur :


J'ai une approche personnelle, mais je veux d'abord voir si des raisonnements adaptés à un niveau de première S existent
On pourra directement poser l'intégrale en l'ayant justifié par une approche "intuitive"

Merci bien

[Lostounet]

Peut-être serais-tu intéressé par une approximation polygonale, pour voir si cela correspond à ta formule..?

[upium666]

Peut-être serais-tu intéressé par une approximation polygonale, pour voir si cela correspond à ta formule..?

Peux-tu expliciter s'il te plaît ?

[Cheche]

Bonjour à toi,

Une intuition de l'intégrale : c'est une somme de bandes verticales infiniment petites (en largeur).

Et d'après la formule que tu souhaites démontrer,
ces bandes ont pour largeur et pour hauteur .

Il faut comprendre le par une petite variation de l'abscisse x (ce qui est en lien avec les bandes infiniment petites (en largeur).

Revenons à ton exemple :

Dans ton cas, tu as une fonction f dont la tangente à la courbe, représentant f, au point d'abscisse x à pour vecteur directeur : qui a pour norme .

Donc si tu te déplaces d'une variation en abscisse, la longueur de ta courbe augmente de .



J'espère avoir répondu à ta question.

[upium666]

Bonjour à toi,



Une intuition de l'intégrale : c'est une somme de bandes verticales infiniment petites (en largeur).

Et d'après la formule que tu souhaites démontrer,
ces bandes ont pour largeur et pour hauteur .

Il faut comprendre le par une petite variation de l'abscisse x (ce qui est en lien avec les bandes infiniment petites (en largeur).

Revenons à ton exemple :

Dans ton cas, tu as une fonction f dont la tangente à la courbe, représentant f, au point d'abscisse x à pour vecteur directeur : qui a pour norme .

Donc si tu te déplaces d'une variation en abscisse, la longueur de ta courbe augmente de .



J'espère avoir répondu à ta question.

Cela peut sembler bizarre mais c'est exactement ce à quoi j'ai pensé !

J'ai pensé effectivement à la somme infinitésimale (donc intégrale) des normes des vecteurs directeurs des tangentes en chaque point.

Je pensais avoir mené un raisonnement tout à fait inacceptable par la communauté mathématique, ça me rassure ! :p

[Cheche]

Félicitations à toi :):)