Loie Binomiale Terminale

[NoeP]

Bonjour j'ai des difficultés pour cet exercice, sachant que nous n'avons encore rien vu sur ce chapitre :

On estime que dans le monde, la proportion de gauchers est de 12%.
On constitue un groupe de 30 personnes de manière aléatoire et l'on note X la
quantité de gauchers dans ce groupe.
1) Quelle loi suit X ?
2) Calculer p(X=10) , après avoir écrit les détails du calcul.
3) Calculer E(X) , puis σ(X) .
4) Donner le plus grand entier a tel que p(X< a)⩽0,025 , puis le plus
petit entier b tel que p(X> b)< 0 ,025 .
5) Dans une classe de 30 élèves, on a dénombré 6 gauchers. A l'aide de
l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% créé au 4), peut-on considérer que la
classe a été constituée de manière aléatoire ?

Si quelqu'un peut m'aider, merci

[Rdvn]

Bonjour
Il y a de nombreux sites qui peuvent vous aider , qu'on peut trouver en cherchant "loi binomiale"
par exemple

https://www.bibmath.net/dico/index.php? ... miale.html

ici, dans les questions 1 à 4 on suppose les 30 tirages indépendants et ainsi
X suit une loi binomiale de paramètres n=30 et p=0 , 12
en question 5 on doute de l'indépendance des 30 tirages
Proposez vos essais...

[NoeP]

Merci beaucoup. C'est bien cela ? :

1. Il s'agit d'une loi binomiale

2. X suit une loi binomiale de paramètres n=30 et p=0 .12, donc :
P(X=10) = ((30!)/(10! x (30-10)!)) x 0.12^30 x(1-0.12)^(30-10)
(je développerais par la suite si cela est le bon calcul)

3. E(X) = 30 x 0.12 = 3.6
σ(X) = 3.6(1-0.12) = 3.168

4.
A partir d'ici je ne sais pas comment faire

[Rdvn]

Bonsoir
1 loi binomiale de paramètres n=30 et p=0,12
2 dans la formule c'est 0,12^10 et non 0,12^30
je pense que vous pouvez utiliser votre calculatrice pour le résultat (il doit y avoir un menu...)
ou bien
https://www.dcode.fr/loi-binomiale
3 E(X) OK
sigma(X) est la racine carrée de V(X) voir bibmath déjà cité
( sigma est toujours, par définition, la racine carrée de la variance, pour n'importe quelle loi de proba)
puis on verra la suite

[NoeP]

D'accord donc σ(X) = √3.168 ≈1.78

[Rdvn]

OK pour l'écart type sigma(X)
avez vous bien compris 0,12^10 et non 0,12^30
puis on voit la suite

[NoeP]

Oui c'est bon

[Rdvn]

pour la 4 il n'y a pas de "formule" il faut tâtonner :
avec votre calculatrice ou l'outil en ligne
https://www.dcode.fr/loi-binomiale
essayez a=1 puis a=2 : qu'en pensez vous ?

[NoeP]

Avec a = 1 on a ≈0.021, et pour a=2 on a ≈0.11, donc le plus grand entier a tel que p(X< a)⩽0,025 est 1, c'est bien cela ? Cela suffit il comme justification ?

[NoeP]

Et pour b = 6 on a ≈0.06, et pour b = 7 on a ≈0.022, donc le plus petit entier b tel que p(X> b)< 0 ,025 est 7
C'est cela ?

[Rdvn]

ça va
soyez plus précis dans la rédaction :
P(X<1) ~ 0,021
P(X<2) ~ 0,11

pour a>2 P(X<a) est plus grand que P(X<2)
puisque P(X<k) = P( X=0 )+...+P( X=k-1 )

donc a = 1

à présent on cherche b : on peut partir de P(X>10) pour se donner une première idée
à vous

[Rdvn]

Je n'avais pas vu votre réponse : c'est bien b = 7

reste la question 5 , plus difficile à justifier si on n'a aucune référence
(question d'ailleurs inopportune pour des personnes niveau "débutant")

avez vous une idée ?

[NoeP]

Non, qu'est ce qu'un "intervalle de fluctuation" pour commencer ?

[Rdvn]

Bonsoir
Je n'arrive pas à mettre la main sur la définition "officielle - programme Terminale" , une recherche sur le Net vous permettra peut être de trouver (ou le cours, si enfin il arrive ...)
Voila ce qu'il faut en comprendre ici :

intervalle de fluctuation au seuil 95% :
[ 1 ; 7 ]
c'est à dire : si X suit bien la loi binomiale prévue, X prend sa valeur dans cet intervalle, avec une probabilité
supérieur ou égale à 0,95
Si X prend sa valeur en dehors de cet intervalle on remet en cause l'hypothèse de départ (c'est à dire ici : les 30 personnes ont été choisies au hasard) .
Ici X=6 , et 6 est dans l'intervalle de fluctuation , il n'y a pas lieu de suspecter la constitution de la classe.
Cela va-t-il pour vous ?

[NoeP]

D'accord, pour être sur d'avoir bien compris, à la question 4 on a trouvé 1 et 7, donc on se trouve bien sur l'intervalle [1; 7], et dans la question on nous dis qu'il y a 6 gauchers donc 6 appartenant à [1; 7], la constitution de la classe semble bien avoir été faite de manière aléatoire.
C'est bien cela ??

[Rdvn]

Oui , c'est cela :
la question 4 permet de dire :
P(X < 1) < 0,025 et P(X > 7) < 0,025
donc P( 1<ou= X <ou=7) > 1-0,025-0,025=0,95
Est c e OK pour vous ?

[NoeP]

Oui c'est bon, merci beaucoup

[Rdvn]

OK bonne nuit