Logique - Raisonnement mathématique

[Hanaconda]

Bonsoir à tous!

J'ai un dm sur le chapitre de la logique ( partie des raisonnements mathématiques), je dois le rendre demain mais j'arrive pas à démontrer quelque chose dessus.
Énoncé :

Montrer que pour tout n appartenant à N ( l'ensemble) : (n^2+1)/3 n'appartient pas à N.

Merci d'avance.

[Lostounet]

Bonsoir à tous!

J'ai un dm sur le chapitre de la logique ( partie des raisonnements mathématiques), je dois le rendre demain mais j'arrive pas à démontrer quelque chose dessus.
Énoncé :

Montrer que pour tout n appartenant à N ( l'ensemble) : (n^2+1)/3 n'appartient pas à N.

Merci d'avance.

Salut,
Quand on a un entier naturel n et qu'on fait la division euclidienne de n par 3, alors de trois choses l'une:
1) n est de la forme 3k
2) n est de la forme 3k+1
3) n est de la forme 3k+2

Dans chaque cas tu peux regarder que vaut n^2+1 et voir si l'entier obtenu est divisible par 3.

Si tu connais les congruences.. c'est plus rapide

[infernaleur]

Salut , le but c'est donc de montrer que 3 ne divise pas n²+1
La méthode que je vais te proposer nécessité les congruences et quelques bases d'arithmétiques.
Tu peux remarquer que tout entier naturel n s'écrit soit sous la forme 3k soit 3k+1 soit 3k+2 avec k un entier naturel.
En effet cela provient de la division euclidienne de n par 3 car avec donc r=0 ou r=1 ou r=2.
Donc le premier cas on a donc n²+1=9k²+1
Et tu peux raisonner avec les congruences comme bha
Donc 3 ne divise pas n²+1
A toi de faire les autres cas.

[même idée que toi lostounet mais en retard désolé ^^]

[Hanaconda]

Merci beaucoup de vos réponses rapides!

Je comprends très bien qu'il faut écrire n sous les formes que vous avez mentionnées. Mais, je n'ai pas la moindre idée sur les congruences.

Est-il nécessaire que je connaisse cela? Sinon, comment puis-je procéder?

Merci encore!

[Lostounet]

Si n=3k, alors n^2+1=(3k)^2+1 = 9k^2 + 1
Cet entier est-il multiple de 3? Pourquoi?

Idem pour chaque cas (pas besoin de dire le mot congruence dans la preuve si tu n'as pas vu les classes résiduelles en cours)

[Hanaconda]

Il ne s'agit pas d'un multiple de 3 puisqu'il est écrit sous la forme 3K+1 (9k^2 +1= 3*3k^2 +1)?

[Lostounet]

Il ne s'agit pas d'un multiple de 3 puisqu'il est écrit sous la forme 3K+1?

Effectivement.

(Un moyen d'y voir plus clair est de se dire que si 9k^2+1 était multiple de 3, alors 9k^2+1=3p ce qui signifie que 1= 3(p-3k^2) donc 1 serait multiple de 3.. ce qui n'est pas vrai!)

[Hanaconda]

Ah, je vois! Merci énormément! Si les trois rapports n'appartiennent pas à N, alors (n^2+1)/3 ne peut, en aucun cas, appartenir à N, c'est ça?!
J'y vois plus clair maintenant.
Merci beaucoup!
Bonne fin de soirée!!

[Lostounet]

euh !
Mais tu n'as pas fait les deux autres cas n = 3k + 1 et n = 3k + 2


As-tu réussi ?

[Hanaconda]

Si, si, je les ai fait et j'ai eu le même résultat obtenu dans le premier cas. Je pense avoir réussi!

Merci encore )

[Lostounet]

C'est pas exactement la même chose.
Si n = 3k + 1, n^2 + 1 = (3k + 1)^2 + 1 = 9k^2 + 6k + 2 ce n'est pas de la forme 3k + 1 .. mais...

Si n = 3k + 2, n^2 + 1 = (3k + 2)^2 + 1 = ..

[Hanaconda]

3K+2 n'est pas un multiple de 3 non plus, si?
Et pour le 3ème cas, j'ai obtenu ceci: (3k+2)^2+1= 9k^2+24k+5 = 3(3k^2+8k+1)+2 = 3K + 2( identique au 2ème cas)

Me suis-je trompée?

[Lostounet]

C'est exactement cela, tu peux désormais dormir !
Sauf si tu as d'autres questions. (Moi j'ai pas fini de travailler mes maths :p)

[Hanaconda]

Merci Bon courage à toi! Et très bonne fin de soirée!