Limites avec des racines partout

[Sulaheia]

Bonjour,

Je fais un petit exercice de TS. Est-ce que quelqu'un aurait le temps de me dire si :
- c'est correct
- on peut faire plus simple

Calculer les limites en + et - de :
1 -
2 -
3 -

Question 1
D'après la courbe je me dis que j'aimerais bien trouver -1 et 1 comme limites. Comme il n'y a pas de limite évidente, je commence à jouer :





Là j'espérais pouvoir conclure mais je ne vois pas comment. Je peux bricoler une explication car le dénominateur de la fraction tend vers 2|x| (car les +1 et -1 vont être "négligeables" face aux x).
Mais ça paraît douteux, donc j'ai continué le calcul en mettant les x² en facteur, pour trouver :


Est-ce que ma valeur absolue est correcte ici ? Au départ j'avais fait 2 cas avec le signe de x.
Et avec ça (si c'est correct), j'ai le droit de conclure ?
J'aurais :
donc
... on retombe bien sur -1 (et 1 en ) - je crois.

Je vous épargne les calculs des autres questions (aussi parce que je n'ai pas le courage de les taper ), mes incertitudes sont les mêmes.
Désolée pour les fractions en tout petit, je n'ai pas pris le temps de chercher comment faire mieux.

Bon week-end !

[Lostounet]

Bonjour,

Cela me semble correct.
Au voisinage de l'infini, on a tout à fait le droit de constater que |x| = x et au voisinage de -l'infini que |x|=-x.
Je ne pense pas qu'il soit possible de faire plus rapide avec le programme de TS !

Pour le 2) il suffit de changer un seul coefficient dans tes calculs (si tu as la flemme). On peut aussi tenter un développement asymptotique en posant y = 1/x^2.

f(x) se comporte dans ce cas comme (1 - sqrt(2)) x^2 au voisinage des infinis.

[Sulaheia]

Merci beaucoup pour ta réponse rapide !
Comme ça me paraissait un peu long, j'espérais qu'on pouvait faire autrement, mais effectivement on a pas plein de possibilité en TS.

"développement asymptotique"... tiens, j'ai complètement oublié ce que c'est ce truc là, le nom fait un peu peur mais je vais regarder (mon bac c'était il y a longtemps, je me remets aux maths). Merci pour l'info !
J'ai répondu aux autres questions en faisant le même genre de calculs qu'à la première pour l'instant, mais c'est probablement moins drôle.

[pascal16]

là, la quantité conjuguée suffit (puis ton calcul) est bon pour la 1
en +oo, pas de problème de signe entre x et sqrt(x²)



pour la 2, simplement mettre |x| en facteur, et tu as du x|x|*(1-V2), soit une limite de -oo en +oo

pour la 3 (y a sans doute plus simple)

en +oo, on remplace 1 par V(x-1) / V(x-1)
on met la partie racine sous même dénominateur
la quantité conjuguée encore
|x| en facteur encore
on a du 2/2 = 1 au final

[Sulaheia]

Merci pour ta réponse pascal16.

J'ai fait comme toi pour la 3, je n'ai pas plus simple.

Quand tu dis "la quantité conjuguée suffit pour la 1". Est-ce que ça veut dire que je n'ai pas besoin de faire la seconde partie du calcul (là où j'ai écrit " j'espérais pouvoir conclure mais je ne vois pas comment") ?

[zygomatique]

salut

dans les deux premiers cas remarquons que f est impaire (définie sur R et f(-x) = -f(x)) donc on peut n'étudier que la limite en +oo

[Sulaheia]

Effectivement, je n'avais même pas réfléchi à la parité. Merci pour cette info !