Limite du taux de variation d'une fonction trigonométriques

[Jad523]

Bonjour
Ça fait 3 heures que j'essaie de trouver la limite en 0 du taux de variation de la fonction suivante :
F(x)=(x+sinx)/(x-sin2x) ; x =/0
Et F(0)=-2
J'ai pensé à la méthode de l'hôpital mais notre professeur ne l'accepte pas.
Y a-t-il quelqu'un qui connait une autre méthode s'il vous plaît ?

[Noemi]

Bonjour Jad523,

remplace sin(2x) par 2 sinxcosx et
mets x en facteur au numérateur et dénominateur.

[Jad523]

Bonjour Jad523,

remplace sin(2x) par 2 sinxcosx et
mets x en facteur au numérateur et dénominateur.

Je ne trouve toujours pas la réponse en factorisant ... je tombe encore sur une forme indéterminée 0/0
Ps : je cherche la dérivée au point 0 et non pas la limite de la fonction toute seule
Merci

[Noemi]

Pour le taux de variation,
le numérateur est égal à 3x + sinx - 2 sin(2x)
le dénominateur x(x-sin(2x))

en mettant x en facteur au numérateur et en calculant la limite elle tend vers 4 - 4 cosx, soit 4(1 -cosx)


au dénominateur x - sin(2x) = x - 2 sinx cosx = x (1 - 2 sinx cosx / x)
sa limite tend vers x(1 - 2 cosx)
Il reste à calculer la limite de 4(1-cosx)/x(1-2cosx)
sachant que lim (cos x - 1)/x tend vers 0,
On déduit une limite de 0.

[Jad523]

Pour le taux de variation,
le numérateur est égal à 3x + sinx - 2 sin(2x)
le dénominateur x(x-sin(2x))

en mettant x en facteur au numérateur et en calculant la limite elle tend vers 4 - 4 cosx, soit 4(1 -cosx)


au dénominateur x - sin(2x) = x - 2 sinx cosx = x (1 - 2 sinx cosx / x)
sa limite tend vers x(1 - 2 cosx)
Il reste à calculer la limite de 4(1-cosx)/x(1-2cosx)
sachant que lim (cos x - 1)/x tend vers 0,
On déduit une limite de 0.

"
en mettant x en facteur au numérateur et en calculant la limite elle tend vers 4 - 4 cosx, soit 4(1 -cosx)
"
C'est cette étape que je ne comprends toujours pas, pourrais tu s'il te plaît me l'expliquer ?
Le résultat 0 est logique et vérifiable avec plusieurs méthodes mais les étapes sont encore un peu floues à mes yeux

[Noemi]

3x+sinx - 2sin(2x) = 3x + sinx - 4sinxcosx
x(3 + sin(x)/x - 4 xin(x)cos(x)/x)
le terme entre parenthèse tend vers 3+1 - 4 cos(x) = 4 - 4 cos(x) sachant que sin(x)/x tend vers 1 si x tend vers 0.

[mathelot]

la limite ne dépend pas de x.

[Jad523]

Mercii beaucoup