Limite

[Nightmare]

Salut !

Vu dans un DM de terminale d'un élève:

Calculer

Qu'en pensez-vous?

[Finrod]

Le truc sous la racine n'est positif que si x est plus grand que 2 en valeur absolue.

ça la fou mal pour le prof qui a écrit le sujet. Un coup de fatigue.

[Ben314]

C'est le prof. qui a posé la question texto sous cette forme ou bien c'est l'élève qui ce l'est posé aprés quelques lignes de calculs (et sans doute une légère erreur) ?

Le truc sous la racine n'est positif que si x est plus grand que 2 en valeur absolue.

Il est aussi positif ou nul (:zen:) pour x=0....

[Skullkid]

Si je ne m'abuse, en terminale on définit les limites relativement proprement (avec des intervalles ouverts), donc c'est maladroit de la part du prof de poser cette question, vu qu'a priori il n'a pas défini la limite d'une fonction en un point qui n'appartient pas à (ou qui n'est pas une borne d') un intervalle ouvert sur lequel est définie ladite fonction. Lors de ma première, on nous avait uniquement enseigné les limites de façon intuitive, donc une telle question me choque pas plus que ça dans ce cadre.

Honnêtement, si tu n'avais pas pointé du doigt cette question, je ne l'aurais pas remarquée... Puis bon, 0 est la bonne réponse.

[Finrod]

Ptet que c'est un piège...

@Ben : il n'y a ni limite à gauche, ni à droite...

[Skullkid]

Si c'est un piège c'est quand même fort sournois...

[Ben314]

Ptet que c'est un piège...
@Ben : il n'y a ni limite à gauche, ni à droite...

Ca, c'est la question "à trois balles" super vicieuse, ça dépend si dans la définition de la limite tu as demandé que tout voisinage pointé rencontre le domaine de déf ou bien seulement que tout voisinage "normal" rencontre le domaine de définition (et aussi selon que tu as définie les limites à droites/gauche par des inégalités strictes ou large...)

En particulier, j'ai trouvé des bouquins de L1/L2 (ou plutôt de DEUG) ou la déf de limite se fait avec des voisinages non pointés et ou la déf de la continuité est alors :
"f est continue en xo ssi f admet une limite en xo" (vu que 3 lignes au dessus l'auteur montre que si f a une limite en xo, ce ne peut être que f(xo)...)

Bon, je pense qu'il y en a qui vont avoir les cheveux qui se dressent sur la tête, mais par rapport à la notion de limite en topologie générale, c'est pas si con (rappel : une fonction définie sur un espace topologique discret est bien considérée comme continue en tout point...)

[Skullkid]

La définition qu'on m'a enseignée de la limite c'est "pour tout voisinage de l il existe un voisinage de ..." sans parler de voisinage pointé. Donc pour moi, 0 est bien la bonne réponse : pour tout voisinage de 0 dans on a bien qu'il existe un voisinage de 0 dans tel que blabla.

Mais bon après mes connaissances en topologie sont basiques. A haut niveau ça pose des problèmes importants de distinguer les voisinages pointés dans la définition ?

[Finrod]

Ben ça dépend de la topologie, si la topologie est discrète, ok.

Mais là non. dans la définition de limite à droite, ou a gauche, il y a le fait que la fonction doit être au moins définit sur un semi-ouvert, fermé au point limité...

Après, si tu prend une autre définition plus générale où la limite ne porte que sur les points où la fonction est définie, tu peux prendre des limites de n'importe quoi, tant qu'il est possible de trouver un candidat à cette limite.

[Nightmare]

Salut à vous !

Pour résumer, tout dépend du rapport entre et Df. D'après vos posts je distingue trois définitions de la limite : La première en autorisant tous les points adhérents à Df, la deuxième en autorisant seulement les points d'accumulation et la troisième, en demandant que Df soit un voisinage du point considérer.

Sauf erreur, je crois que celle qui correspond à la définition topologique (et donc celle a priori la plus acceptable) est la première. D'ailleurs avec cette dernière, ma fonction a une limite en 0 qui vaut 0 !

[busard_des_roseaux]

Salut à vous !

Pour résumer, tout dépend du rapport entre et Df. D'après vos posts je distingue trois définitions de la limite : La première en autorisant tous les points adhérents à Df, la deuxième en autorisant seulement les points d'accumulation et la troisième, en demandant que Df soit un voisinage du point considérer.

Sauf erreur, je crois que celle qui correspond à la définition topologique (et donc celle a priori la plus acceptable) est la première. D'ailleurs avec cette dernière, ma fonction a une limite en 0 qui vaut 0 !

vi, mais il y a un ennui. Dans le calcul du nombre dérivé, h=0
est point d'accumulation de



c'est pour cela, que l'on définissait dans le temps (1970)
des voisinages épointés pour les limites et pour la composée gof et sa limite
que g soit en plus continue en


De toutes façons, ça a toujours été un gros sac de noeuds.
D'après mes souvenirs, il faut suivre la définition de la limite donnée par Weierstrass

[busard_des_roseaux]

:doh:

i) ce qui est certain, on doit définir la limite sur un voisinage épointé


pour pouvoir gérer la définition d'un nombre dérivé




La limite usuelle est clairement définie pour . zéro est point d'accumulation,
mais qui n'appartient pas au domaine de définition du taux d'accroissement

ii)
si on prend comme définition de la limite, des voisinages épointés,
dans l'exemple traité, l'ensemble des x , pour lesquels est vérifiée
la définition est vide.

Que se passe-t-il pour le vide ?

soit p un prédicat p(x)

(non p) est faux
la négation est vraie
est vraie

donc tous les prédicats sans quantificateur existentiel sont vrais sur l'ensemble vide

d'où


est vraie.

ma conclusion:
- La limite existe, elle n'est pas unique
- tout réel L est limite.
- aucune raison de privilégier y=0 comme limite
:zen: :biere:

[Ben314]

Aller, va, juste pour entretenir la polémique,
Si f est définie sur et un point de alors la fonction a pour domaine de définition donc, quelque soit la définition que l'on prend de la limite, y compris celle avec des voisinages non pointés (ou épointés) on voit que l'on ne peut calculer la limite de que si est un point adhérent à .

(ma) conclusion : cet argument ne favorise aucune définition spécifique.

Aprés, pour ceux qui veulent le fond de ma pensée, je m'en f... de la définition que l'on prend, je m'adapte...
(A la limite, ça m'interesse de savoir ce qui se fait dans le secondaire pour éviter d'embrouiller les élèves...)

[Skullkid]

La définition de la limite que j'ai eue en terminale c'est : soit f définie sur un intervalle dont est une borne. si pour tout intervalle ouvert J contenant l il existe un intervalle ouvert I contenant tel que . Donc avec cette définition, la limite demandée n'existe pas.

Pour ce qui est des différentes définitions en topologie, comme dit, on m'a enseigné celle qui ne se restreint pas aux voisinages pointés. Mais "avec les mains", pour moi, dire que f tend vers l en ça veut dire que quel que soit le chemin que je choisis pour aller vers , le chemin image ira vers l. Et rester constamment sur est un chemin possible. D'ailleurs tous les chemins possibles dans le cas de sont "stationnaires" sur 0. Donc je dois avouer que ça me gêne qu'on ne puisse pas définir la limite d'une telle fonction.

[Nightmare]

Je pense que pour "régler" le problème, on doit inévitablement parler de filtres.

[mathelot]

euh,

précisons que

- les voisinages sont épointés (privés de point)
- les arbres , les rois et les asperges sont étêté(e)s
- les montagnes sont écrêtées

à propos , avez-vous versé une larme le 21 janvier ?

[Ben314]

Salut matinal mathelot,
Google "voisinage épointé" (français) => 390 réponses
Google "voisinage pointé" (français) => 268 réponses
.
.
.

[mathelot]

re,

pointer

c'est exactement l'inverse. rajouter un point.

pour moi un voisinage pointé de zéro serait
:zen:

Mais dans la langue, ça arrive souvent qu'une expression finisse
par signifier son contraire:

"sans doute" = avec doute
"est-ce que tu ne vas pas à l'école?" , "non" = oui :doh: