Limite

[J-R]

bonjour,

j'ai du mal à calculer la limite éventuelle de la suite suivante:



j'essaie de l'encadrer mais ca fait deja pas mal de temps....

merci

[Sylar]

Bonjour,on a :


n!=1.2.3.......n


=> n! / n^n = [1/n].[2/n]........[n/n]

=> u_n tend vers 0 ....

[lapras]

Salut J-R, tu me donnes envie avec tes limites avec factorielles, es ce que t'en as d'autres pour moi ?

[Babe]

si tu connais la formule de Stirling
~
donc ~
donc quand n tend vers l'infini, Un tend vers 0

[J-R]

sylar ok j'avais trouver en minorant par majorant par 1/n ce qui me donnait 0 (en fait je cherchais trop compliqué) merci

lapras:

alors étudie la convergence de:

(si tu veux un indice tu me le demande)

sinon des petites comme ca:

;

[J-R]

Babe:

je l'avais lu sur wiki... mais je voulais faire simple car ton théorème je ne sais pas le démontrer et j'utilise que ce que je sais faire (donc pas beucoup de truc en fait.... :zen: )

[Babe]

oui mais vous etes des lyceen qui envoie la sauce avec lapras :lol2:
tu sais pas le demontrer ? jsuis sur que t'es deja sur wikipedia pour trouver une demo :zen:
pour le bac vous allez vous marrer quand vous aurez limite de x^² quand x tend vers l'infini

[J-R]

babe:

lim(x-->+oo)x^2= ? peut etre pas quand meme au bac ca :doh:

si c'est ca le niveau des francais...

ca me fait peur :briques:

[Babe]

non j'exagere un peu mais c'est pas la folie niveau difficulté
je viens de regarder le sujet de cet année et ... bon...il vous surmene pas trop

[lapras]

Babe:

je l'avais lu sur wiki... mais je voulais faire simple car ton théorème je ne sais pas le démontrer et j'utilise que ce que je sais faire (donc pas beucoup de truc en fait.... )

J'aime bien les gens comme ça !
Les seuls trucs que j'admet c'est les formule sdes volumes, car je sais que ke vais les démontrer en terminale.
J'ai même eu du mal a admettre que 1+1=2 et j'ai du le démontrer lol


Sinon pour n²/n!
quand n->+OO :
on remarque que :
n²=n*n = (1*2*...*(n-1)*n*n)/(1*2*...*(n-1)) = (n!*n)/(n-1)!

et que
n! = (n-1)! * n

donc n²/n! = ((n!*n)/(n-1)!)/(n-1)!*n) = ... = n/(n-1)! = (n-1)/(n-1)! + 1/(n-1)! = (n-1)/(1*...*(n-1)) + 1/(n-1)! = 1/(n-2)! + 1/(n-1)!
ce qui tend vers 0
kj'ai complqiué le tout pour bien détailler, mais il sse peut que j'ai fais des erreur j'ai utilisé rarement les factorielles




Pour (2n)!/n! c'est simple :

(2n)! = 1 * ... * n * (n+1) * ... * 2n

donc
(2n)!/n! = (n+1)*...*2n et quand x-> +OO ca tend aussi vers +OO

sauf erreur !

EDIT : le niveau des français fait effectivement peur (je suis dans un des "meilleurs lycées"(blaise pascal), et le niveau est absurde...)

[Nightmare]

Lapras > Petite question pas si anodine, comment démontres-tu que la suite (n!) diverge vers +oo ? (autrement que par un "c'est trivial" qui n'est pas une démonstration !)

:lol3:

[lapras]

Bah en fait c'est comme pour les fonctions inverse et carré en premiere, c'est des limites "admises", évidentes, mais non démontrées (autrement que graphiquement...).
Mais bon je peux essayer ^^
Il faut trouver un réel A>0 tel que à partir d'un certain rang n, alors tous les réels de cette suite n! est contenu dans [A ; +OO[
!n >= A
n*(n-1)!>=A
n >= A/(n-1)!
car (n-1)!>=1 pour n >=1
donc l'inégalité ne change pas de signe

donc pour tout n>= A/(n-1)! , alors Un appartient à [A;+OO[ , donc Un diverge...
Aussi, je peux montrer la (strict) croissance de Un :
Un+1 - Un= 1*...*n*(n+1) - 1*...*n = n!(n) = n*n! ce qui est toujours strctement positif pour TOUT n >= 0 donc la suite est strictement croissante.

[kazeriahm]

donc pour tout n>= A/(n-1)! , alors Un appartient à [A;+OO[ , donc Un diverge...

mmm attention la définition de u_n tend vers l'infini en l'infini c'est

pour tout A>0, il existe n_0 entier tel que pour tout n>=n_0, u_n>=A.

Donc tu dois fixer A, ensuite trouver un n_0 fixé.

Ici ta borne A/(n-1)! (qui serait donc ton n_0, en s'arrangeant pour rendre ca entier) dépend de n, ca ne va pas.

Parcontre, tu peux minorer très (vraiment très) simplement n! par une suite qui tend vers l'infini... laquelle?

[lapras]

Voudrais tu dire minorer Un ?
En tout cas ce qui est sur, c'est que n! = 1 * ... * n >= n
Lol

[anima]

babe:

lim(x-->+oo)x^2= ? peut etre pas quand meme au bac ca :doh:

si c'est ca le niveau des francais...

ca me fait peur :briques:

Entre autres, au bac, j'ai eu et au bac... Alors tu sais hein, on s'étonne plus de rien.

[kazeriahm]

oui lapras, mais u_n=n! ?!

[J-R]

lapras attention

(2n)! n'est pas égale à ce que tu as dit .... :)

sinon Nightmare: as tu une méthode malicieuse pour la limite de n! (comme tu avais fait pour ln(x)

merci

et si y'aurait une méthode avec la caractérisation d'une limite ca serait la cerise sur le gateau

[J-R]

anima et babe:

Entre autres, au bac, j'ai eu \lim_{x \to +\infty} x^2e^{-x} et \lim_{x \to +\infty} e^{-x} au bac... Alors tu sais hein, on s'étonne plus de rien.

de toutes facon le niveau baisse et les heures de maths aussi !! (ca me fait vraiment peur pour nos descendants :ptdr: )

ils veulent mettre de l'info c'est nimp ce sont des points donnés comme si le bac était déjà trop dur.


je regretterais peut etre cette phrase dans 1 an mais vivement la prépa

[anima]

de toutes facon le niveau baisse et les heures de maths aussi !! (ca me fait vraiment peur pour nos descendants :ptdr: )

Je suis bien d'accord; tout ca parce que les maths sont jugés trop "abstraits" autrement :hum:

ils veulent mettre de l'info c'est nimp ce sont des points donnés comme si le bac était déjà trop dur.

J'ai vu pire pour grapiller des points: l'espagnol.

je regretterais peut etre cette phrase dans 1 an mais vivement la prépa

Je regrette pas cette phrase mais dans 1 mois et 15 jours vive l'université anglaise.

[Nightmare]

La méthode que j'ai en tête est de revenir à la construction de (n!), on définit la suite par récurence avec :
u0=1 et

Comme u(n) est positive (récurrence immédiate) elle est croissante (puisque le taux d'accroissement vaut n.u(n) donc soit elle converge, soit elle diverge vers +oo.

Supposons qu'elle converge vers l :
Premièrement, l ne peut pas valoir 0 (puisque la suite est minorée par 1)
Si l est différent de 0, alors u(n+1) tend vers l.
et (n+1)u(n) diverge. Absurde par unicité de la limite.

On en déduit que n! diverge.

La méthode de la minoration est plus rapide mais nécessite aussi une récurrence.