DM limite.

[Nadraffe]

Bonjour, je suis bloqué à cet exercice.
L'énoncé est : On considère la suite numérique (Vn) définie par Vo = 0 et Pour tout n € N, .
On pose
La question est : En déduire que pour tout n € N,
Cependant j'ai trouvé que est égale à et que ça c'est négatif sur ]1;-infini[...
Merci pour l'aide !

[Nadraffe]

Bonjour, je suis bloqué à cet exercice.
L'énoncé est : On considère la suite numérique (Vn) définie par Vo = 0 et Pour tout n € N, .
On pose
La question est : En déduire que pour tout n € N,
Cependant j'ai trouvé que est égale à et que ça c'est négatif sur ]1;+infini[...
Merci pour l'aide !

[vam]

Bonjour
il y a un "en déduire"
peux-tu nous dire ce qu'il y avait avant ?

[Nadraffe]

Ce qu'il y avait avant c'était : Démontrer que pour tout entier n apparentant à N, que V(n+1) - Vn = c'est marqué (1-Vn)*((3+Vn)/4+Vn))

[vam]

oui, c'est déjà une indication, mais je pense que on t'a fait étudier la fonction f aussi, les variations, ...
je parie que dans les premières questions tu as tous les éléments de réponse
(un énoncé quand on veut de l'aide ne commence pas à la question sur laquelle on bloque)

[mathelot]

On veut démontrer que la suite de terme général est strictement croissante:

1ère méthode (la tienne):

on calcule

soit le trinôme T défini par

Quel est son signe sur l'intervalle [0;1[ ?

On peut déterminer le signe de T, soit en factorisant le trinôme et en dressant un tableau de signes ou bien en étudiant ses variations à l'aide de la dérivée.

[Nadraffe]

Sur [0;1[ la fonction est positive mais le problème c'est que c'est dit "Pour tout n € N" donc pour moi il y a [0;1[ mais aussi [1;+infini[
Donc je ne sais pas mais merci pour vos réponses !

[mathelot]

Concernant la suite de terme général v_n, il ne faut pas confondre son ensemble de départ N et son ensemble d'arrivée, sous ensemble de [0,1[.
Tous les nombres v_n appartiennent à [0,1[ et donc on utilise le signe du trinôme sur l'intervalle [0,1[.
Le trinôme T est strictement positif sur l'intervalle [0,1[ donc la suite (v_n) est strictement croissante.

[vam]

Vu la forme factorisée qui t'était manifestement donnée dans l'énoncé, développer ne me semble pas une bonne idée
et tu n'as pas répondu à ma demande, mais je suis quasi persuadée qu'on t'a fait démontrer auparavant que les termes de la suite étaient compris entre 0 et 1...

[mathelot]

2eme méthode
Soit l'hypothèse de récurrence (H_n)
0<v_1<v_2.....<v_n<1
La fonction f étant strictement croissante sur [0,1]
Les images de ces n+2 nombres sont rangées dans le même ordre.
f(0)<f(v_1)<f(v_2)<...<f(v_n)<f(1)
Soit 0<3/4<v_2<v_3<....<v_{n+1}<1
Donc l'hypothèse H_n est héréditaire. H_1 est vraie. Donc H_n est vraie pour tout entier n >0.
La suite de terme général v_n est strictement croissante

[Nadraffe]

Bonjour, merci pour toutes ces réponses. Je voulais savoir, si on peut étudier la limite de la suite (Vn) avec la fonction qui est donnée au départ qui est : sachant que la suite s'exprime comme ça : ?

[Nadraffe]

Bonjour, merci pour toutes ces réponses. Je voulais savoir, si on peut étudier la limite de la suite (Vn) avec la fonction qui est donnée au départ qui est : sachant que la suite s'exprime comme ça : ?

Ce n'est pas "Vn" dans f(x) mais des "x" pardon.

[vam]

re
sous certaines conditions, la limite l n'est-elle pas solution de l = f(l) ?

[Nadraffe]

Si sur [0;1[, car j'ai dû démontrer par récurrence que 0=<Vn<1 avec f(0)=<f(Vn)<f(1).

[vam]

donc tu vas pouvoir déterminer la limite l comme je viens de dire

[Nadraffe]

re
sous certaines conditions, la limite l n'est-elle pas solution de l = f(l) ?

Je pense sur [0;1[. Mais il n'y a pas d'intervalle avec la question.

[Nadraffe]

donc tu vas pouvoir déterminer la limite l comme je viens de dire

La limite est donc f(1) =