TS-limite

[Anonyme]

Je me suis pose la question de :
limite de xln(exp(-x)+1) quand x tend vers l'infini.
Le graphe montre que ca va vers zero.
Mais je n'arrive pas a lever l'indetermination simplement.

L'idee que j'ai est d'utiliser ln(1+h)/h quand h tend vers zero tend
vers1 et donc de d'obtenir

-hln(h)*(ln(1+h)/h) ce qui tend vers zero.
Mais c'est tres complique.

Y a t il une autre solution plus simple ?
Merci d'avance
Arthur.

[Anonyme]

Le Wed, 28 Apr 2004 19:36:01 GMT, Arthur à écrit
>Je me suis pose la question de :
>limite de xln(exp(-x)+1) quand x tend vers l'infini.
>Le graphe montre que ca va vers zero.
>Mais je n'arrive pas a lever l'indetermination simplement.
>
>L'idee que j'ai est d'utiliser ln(1+h)/h quand h tend vers zero tend
>vers1 et donc de d'obtenir
>
>-hln(h)*(ln(1+h)/h) ce qui tend vers zero.
>Mais c'est tres complique.
>
>Y a t il une autre solution plus simple ?
>Merci d'avance
>Arthur.

En fait après la terminale on raisonnerait comme cela, avec ce qu'on
appelle les développements limités et les équivalents

ln(1+h) = h + o(h) quand h->0

(ce qui ne signifie rien d'autre que ln(1+h)/h = 1 + o(1) càd tend
vers 1, l'expression o(A) signifie très très petit comparé à A, en
d'autres termes o(A)/A -> 0).

Et on dirait

x ln(exp(-x)+1) = x ( exp(-x) + o(exp(-x)) ) ~ x exp(-x) -> 0 car
l'exponentielle l'emporte sur le x.
( le ~, signifie équivalent et ne permet de garder que le plus gros
terme d'une somme ou expression, en éliminant les négligeables).

Ne disposant pas de ces outils et notations tu dois te débrouiller
pour faire apparaître les 2 résultats utilisés :

- ln(1+h) équivalent à h quand h->0
- h exp(-h) tend vers 0

La méthode est donc de faire apparaître ces quantités un peu comme tu
l'as fait. Voici la rédaction à suivre :


x ln ( exp(-x) + 1 )
= x * 1 * ln ( exp(-x) + 1 )

// tu fais aparaître artificiellement une quantité 1

= x * exp(-x)/exp(-x) * ln ( exp(-x) + 1 )

// puis tu regroupes pour utiliser les propriétés à ta disposition

= [ x * exp(-x) ] * [ ln ( exp(-x) + 1 ) /exp(-x) ]

// il ne reste qu'à conclure

x * exp(-x) -> 0 quand x -->+oo

[ ln ( exp(-x) + 1 ) /exp(-x) ] --> 1 car ln(1+h)/h --> 1 quand h =
exp(-x) -->0

Donc x ln ( exp(-x) + 1 ) tend vers 0 quand x-->+oo




--
zwim.
Rien n'est impossible que la mesure de la volonté humaine...

[Anonyme]

"zwim" a écrit dans le message de
news:fd6090lfcrf8k7bualcjhfqmtmtbef9br9@4ax.com...
> Le Wed, 28 Apr 2004 19:36:01 GMT, Arthur à écrit[color=green]
> >Je me suis pose la question de :
> >limite de xln(exp(-x)+1) quand x tend vers l'infini.
> >Le graphe montre que ca va vers zero.
> >Mais je n'arrive pas a lever l'indetermination simplement.
> >
> >L'idee que j'ai est d'utiliser ln(1+h)/h quand h tend vers zero tend
> >vers1 et donc de d'obtenir
> >
> >-hln(h)*(ln(1+h)/h) ce qui tend vers zero.
> >Mais c'est tres complique.
> >
> >Y a t il une autre solution plus simple ?
> >Merci d'avance
> >Arthur.
>[/color]
...............
> // il ne reste qu'à conclure
>
> x * exp(-x) -> 0 quand x -->+oo
>
> [ ln ( exp(-x) + 1 ) /exp(-x) ] --> 1 car ln(1+h)/h --> 1 quand h =
> exp(-x) -->0
>
> Donc x ln ( exp(-x) + 1 ) tend vers 0 quand x-->+oo
>
-------------
Je propose une autre présentation :
Il existe (TS) deux types de limites impliquant des ln .
a) aux bornes du domaine : 0 et +inf
lim((ln x)/x ,x ,+inf) et lim(x.ln x ,x ,0)
b) dans le domaine : x = 1 (en faisant apparaître une dérivée)
lim(ln(1 + h)/h ,h , 0) = lim((ln(1 + h) - ln 1)/h ,h ,0) = ln'(1) = 1 .

Un moyen simple pour savoir vers quelle forme s'orienter consiste à
remplacer x dans le ln :
ici : e^(-inf) + 1 = 1 , donc la forme b) devra apparaître.

On pose h = e^(-x) qui tend vers 0 lorsque x tend vetrs +inf, dont on tire
x = -ln h
lim(x.ln(e^(-x) + 1),x,+inf) = lim((-ln h).ln(1 + h),h,0) = -lim(h.ln h ,h,
0)*lim((ln(1 + h)/h , h , 0) = 0*1 = 0 .
salut !
JMH


zwim.
> Rien n'est impossible que la mesure de la volonté humaine...

[Anonyme]

Tu as tout dit:

x*ln(exp(-x)+1)=x*exp(-x)*ln(exp(-x))/exp(-x)
Je pose h=exp(-x) qui tend vers 0 en l'infini et il vient
x*exp(-x)*ln(1+h)/h qui tend vers x*exp(-x) qui tend vers 0 et c'est gagné!

Stéphane


Arthur a écrit :
> Je me suis pose la question de :
> limite de xln(exp(-x)+1) quand x tend vers l'infini.
> Le graphe montre que ca va vers zero.
> Mais je n'arrive pas a lever l'indetermination simplement.
>
> L'idee que j'ai est d'utiliser ln(1+h)/h quand h tend vers zero tend
> vers1 et donc de d'obtenir
>
> -hln(h)*(ln(1+h)/h) ce qui tend vers zero.
> Mais c'est tres complique.
>
> Y a t il une autre solution plus simple ?
> Merci d'avance
> Arthur.