Limite de suite

[benekire2]

Mais comme ça n'utilise que la définition de la limite , je pense que c'est parfaitement niveau lycée pour nightmare :zen:

[Nightmare]

C'est théorique mais par rapport à un exercice d'olympiade, c'est quand même plus simple... Pourtant les exercices d'olympiades sont "censés" être de niveau première :lol3:

Edit : j'ajouterai que la seule difficulté de l'exercice est la rédaction, d'ailleurs Benekire, vois-tu comment rédiger une solution à l'exercice 3 ? (Suite convergente d'entiers relatifs)

[benekire2]

Pour ce qui est des exos d'olympiades, je suis pas d'accord, pour les OIM et les OFM oui, mais pour les académiques, tu en trouvera certes des plus dur mais surtout des plus simples ...

Après la rédaction du 3 je dirais:

la suite converge donc déjà je passe à la definition :

pour tout A de R*+ il existe N tel que pour tout n>N on ait n>N => |U(n)-l|
euh après je vois pas trop en fait :briques:

Edit ; de plus U est élément de Z ; on peut s'en servir c'est sur :zen:

[Nightmare]

Encore une fois, l'exercice proposé n'est pas difficile dans le sens où il n'y a aucun théorème et aucune "subtilité" cachée. On comprend assez bien ce qu'il se passe en essayant d'imaginer les choses, la seule chose qui le rend un peu ardu est la rédaction et effectivement, pour un élève de terminale qui n'est pas habitué à rédiger des démonstrations théorique, c'est pas super facile.

Pour l'exercice 3 c'est pareil, c'est un exercice très simple intuitivement, un peu moins à écrire. Aussi, pour ce genre d'exercice, l'idéal est de dire avec ses propres mots pourquoi ça ne marche pas, et essayer de retranscrire mathématique ce qu'on dit. Est-ce que tu peux me dire alors, avec tes propres mots, sans parler de définition formelle de limite, pourquoi une suite convergente d'entiers relatifs est forcément constante à partir d'un certain rang?

[benekire2]

Alors voilà comment moi je me suis parlé dans ma tête :

Si on suppose que la suite converge en un réel c'est que elle se rapproche de plus en plus de celui ci en l'infini.

Après il y a un passage qui a mon sens est dur a justifier c'est que si elle converge c'est vers un entier relatif ( et c'est loin d'être trivial je pense, parce que 'on connait des suites de Q qui convergent vers R, mais bon, Q est dense dans R et pas Z ... )

Donc, si des entiers relatifs se rapprochent de plus en plus d'un entier relatif .. c'est qu'il l'atteignent forcément parce que sinon, ils oscilleraient indéfiniment autour.

C'est propre ou pas ?
A l'évidence non ...

[Nightmare]

Pourquoi la limite est-elle forcément entière? (C'est vrai bien sûr, puisque plus globalement on veut prouver que la suite est stationnaire).

La chose vraiment importante dans ton post :

Si on suppose que la suite converge en un réel c'est que elle se rapproche de plus en plus de celui ci en l'infini.

Pourquoi alors la limite ne peut elle être non entière ?

Edit : J'ai même mis en gras ce qu'était vraiment très important :lol3:

[Nightmare]

En fait, tu as noté autre chose d'important que je n'ai pas relevé. Comme tu l'as dit, au contraire des rationnels, les entiers relatifs ne sont pas denses dans R. Autrement dit, des entiers, il n'y en a pas dans tous les intervalles...

[benekire2]

Pourquoi la limite est-elle forcément entière? (C'est vrai bien sûr, puisque plus globalement on veut prouver que la suite est stationnaire).

La chose vraiment importante dans ton post :


Pourquoi alors la limite ne peut elle être non entière ?

Edit : J'ai même mis en gras ce qu'était vraiment très important :lol3:

Ben ça se rapproche de plus en plus , donc comme ce sont des entiers, ça implique que la limite est entière.

[Nightmare]

Tu n'as rien démontré :lol3: Pourquoi forcément un entier? Que se passe-t-il si ce n'est pas un entier?

[benekire2]

si c'est pas un entier sois ça le dépasse ensuite sois ça oscille constamment autour .

L'ennui c'est que j'ai jamais l'impression de démontrer quoi que ce soit.

[Nightmare]

si c'est pas un entier sois ça le dépasse ensuite sois ça oscille constamment autour .

Et ? Je ne vois toujours pas de contradiction :lol3:

Je te mets un peu plus sur la voie : La limite de la suite, c'est un point autour duquel tous les termes vont se concentrer à partir d'un certain rang.

Autrement dit , étant donné un intervalle arbitrairement petit centré en la limite, on devrait pouvoir y mettre tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Sauf que, comme on peut le choisir arbitrairement petit cet intervalle, je peux le choisir en particulier pour qu'il ne contienne... aucun entier ! (chose que je ne peux pas faire avec les rationnels par exemple, par densité comme tu l'as dit)

A toi de continuer.

[benekire2]

a ba oui, je suis trop con, on a qu'a choisir un intervalle de telle sorte qu'aucun entier soit dedans, donc du coup on en déduit une contradiction, les Un ne seront plus dedans

ie la limite doit forcément etre entiere.

[benekire2]

alors après maintenant qu'on a une limite entière c'est pas trop mal. Et on a même fini je crois, parce que on peut s'arranger pour que l'intervalle contenant la limite ne contienne qu'un entier ( la limite ) donc qu'a partir d'un rang N on a forcément des termes égaux à la limite donc une suite stationnaire .

[Nightmare]

Niquel :happy3:

Tu as vu que quand on y pense ce n'est pas trop difficile. C'est peut être un peu plus délicat à écrire et encore, quand on a compris, pas de soucis.

:happy3:

[Nightmare]

Dans le même ordre d'idée, que dire d'une suite périodique convergente?

:happy3:

[benekire2]

Toujours à terme entiers ?

[benekire2]

si oui c'est une suite constante du début à la fin et de période ce que l'on veut ... enfin je crois

[Nightmare]

Non, quelconque cette fois ci !

[benekire2]

Niquel :happy3:

Tu as vu que quand on y pense ce n'est pas trop difficile. C'est peut être un peu plus délicat à écrire et encore, quand on a compris, pas de soucis.

:happy3:

Oui mais j'ai jamais travaillé avec les définition rigoureuses donc ça risque encore de prendre un bout de temps . . .

[benekire2]

Ben elle est forcément stationnaire :zen: