Limite de suite

[benekire2]

je suppose que tu vas me demander de le montrer ...

Et ba j'en sais pas grand chose, mais avec mes mots je dirais :
plus on réduit l'intervalle qui contient la limite, plus il est petit et doit contenir tout les U(n) avec n>N sauf que comme la suite est périodique ça doit contenir les u(n-T) ... bref, tous et comme au final l'intervalle tend vers 0 on en déduit que la suite est stationnaire

mais mathématiquement ... :ptdr:

[Nightmare]

L'idée est là, en fait elle n'est pas stationnaire mais carrément constante (une suite périodique constante à partir d'un certain rang est globalement constante bien sûr)

Une méthode très simple qui permet de conclure rapidement est d'étudier la sous-suite où T est une période de la suite. Que dire de cette suite?

:happy3:

[benekire2]

oui j'ai dit stationnaire, mais c'est bien sur constante, c'est un détail.

Ta sous suit converge vers u0 puisque elle est forcément constante.

Je suppose qu'il faut étudier la sous suite U(Tn+1) ... et bien elle converge vers u1

donc si u0 différent de u1 la suite u converge pas.

Mais le cas u0=u1 ?

[Nightmare]

Encore une bonne idée !

En fait, en prenant n'importe quel entier , la sous-suite converge vers . Or, comme la suite est supposée convergente, toutes les sous-suites convergent vers la même limite... On en déduit que tous les u_k sont égaux, ou autrement dit que la suite est constante !


Si tu veux t'entrainer à utiliser la définition formelle de la limite, essaye déjà de démontrer les propriétés de base à l'aide de celle-ci.

Par exemple, tu peux essayer de montrer les propriétés suivantes :

1)Si u converge vers l et v vers l' alors u+v converge vers l+l'

2)Si v diverge vers +oo et pour tout n alors u diverge aussi vers +oo

3)Le théorème des gendarmes : Si u < v < w et u et w convergent vers la même limite alors v converge aussi vers cette limite

4) Montrer que si une suite converge, sa limite est unique

[benekire2]

Encore une bonne idée !

En fait, en prenant n'importe quel entier , la sous-suite converge vers . Or, comme la suite est supposée convergente, toutes les sous-suites convergent vers la même limite... On en déduit que tous les u_k sont égaux, ou autrement dit que la suite est constante !


Si tu veux t'entrainer à utiliser la définition formelle de la limite, essaye déjà de démontrer les propriétés de base à l'aide de celle-ci.

Par exemple, tu peux essayer de montrer les propriétés suivantes :

1)Si u converge vers l et v vers l' alors u+v converge vers l+l'

2)Si v diverge vers +oo et pour tout n alors u diverge aussi vers +oo

3)Le théorème des gendarmes : Si u < v < w et u et w convergent vers la même limite alors v converge aussi vers cette limite

4) Montrer que si une suite converge, sa limite est unique

Je vais essayer ( même si je les ai vaguement entrevues quand j'ai fait le prog de Term , mais j'avais voulu garder les définitions véritables pour après, du fait qu'en term on en a pas vraiment besoin)

Il faut juste que je termine mon anthologie poétique ... après je m'y met !!

[benekire2]

bon alors rapidement :
c'est pas aussi dur que les exos que tu as donné :zen:

pour les gendarmes:

Il existe un voisinage de L qui contient tout les u et les w a un certain rang, donc il contient forcément tout les w ; d'où le résultat ( de la limite.)

Les deux premiers c'est simplement des pures applications imo

pour le dernier, je retourne a mon anthologie en y réfléchissant même si ça s'annonce pas très dur par l'absurde.

[Nightmare]

C'est la même chose que les exercices, pas difficile à intuiter mais plus "délicat" à écrire :happy3:

En fait, quand je parle d'écrire, c'est avec les définitions formelles des limites (qui traduisent littéralement celles que j'ai données sur la première page).

Par exemple, une suite (un) converge vers un réel L si, quel que soit e fixé, il existe un rang N tel que si n > N alors |u(n)-l| est inférieur à e

[benekire2]

oui pour les trois premiers j'ai pas de problèmes c'est pour le dernier que c'est plus dur.

Donc on considère qu'il y a 2 limites telles que l
Donc pour tout epsilon il existe A tel que pour tout n>A on ai : n>A => |U(n)-l|De même pour tout epsilon, il existe A' tel que pour tout n>A' on ai : n>A' => |U(n)-L|
Voilà oè j'en suis lol ( c'est a dire que dalle) mais je suis certain qu'il y a un coup a jouer avec le epsilon et les histoires de voisinage. Je vois parfaitement mais question traduction mathématique. ..

[Nightmare]

Essaye de voir intuitivement ce qu'il se passe encore. Si la suite converge vers l, c'est que les termes vont se concentrer dans un intervalle centré en l arbitrairement petit. Si elle converge vers L, idem, les termes devraient se concentrer sur un intervalle centré en L arbitrairement petit.

Quelle est l'idée? Simplement de prendre alors un intervalle centré en l assez loin de L, cela semble du coup assez dur pour les termes de la suite de se concentrer en même temps autour de l, et en même temps autour de L non?

[Nightmare]

Il n'est pas inintéressant de constater que, si on peut faire ça, c'est parce que les nombres réels sont "séparés", c'est à dire que, étant donné deux réels, on va pouvoir trouver un intervalle centré en le premier et un intervalle centré en le deuxième, les deux étant disjoints.

[benekire2]

oui c'est exactement ce que je pense, mais c'est loin d'être évident a écrire ...
Mais je crois pouvoir m'en sortir avec ça:

si on pose l-L=4r

et que l'on posi I=]l-r;l+r[ et J=]L-r;L+r[ alors par définition I contient tout les U à un certain rang n donné et J également, or I inter J = vide
donc, on a notre contradiction.

[Nightmare]

C'est presque ça, le seul problème, c'est que les rang à partir desquels les termes sont contenus dans chacun des intervalles ne sont pas forcément les même. Comment régler le problème?

[benekire2]

on a qu'a dire que il il existe A tel que n>A => u(n) dans I
de même A' avec n>A' => u(n) dans J

On prend max(A,A') comme ça on est sûr que les u(n) sont dans les deux , ce qui est absurde.

[Nightmare]

Bingo :happy3:

Tu vois, on prend vite les bons réflexe :lol3:

[benekire2]

ouais , mais bon, c'est un reflex sur .... oula beaucoup !!

[Nightmare]

Normalement, tu devrais pouvoir me montrer facilement qu'une suite convergente est bornée à présent, et qu'une suite qui tend vers +oo est minorée ! :lol3:

(Vu que tu as répondu un peu facilement à mes problèmes, je vais en donner à manger à mon élève de term qui ne va pas tarder histoire d'en faire au moins souffrir un héhé)

[benekire2]

Ben c'est pas super dur maintenant :we:
donc la suite qui converge, donc a partir du rang N on a tout les u(n) dans l'intervalle ]l-r;l+r[ pour r fixé.
Alors là je tente un truc bizarre, mais c'est ce que me dit mon coeur ( lol )
donc soit tout les Un avec non prend le plus grand de ceux là et on l'appelle A
et de même avec L-r on prend le plus petit et on l'appel B

Donc on aura forcément B
Après pour le suite qui tend vers l'infini c'est un peu la même chose ...

[benekire2]

J'aimerais bien prendre des cours de math moi, parce que en autodidacte j'apprend certes mais trois points chiants :

-j'avance àa ma vitesse ( donc flemmardise = progression nulle )
-les méthodes et les rédactions ... C'est les miennes , donc pas génial
-un prof c'est surement le pied, on passe pas 1h a comprendre un truc con ...

Mais bon, mes parents sont pas super chauds .. d'autant que pour eux je suis pas en difficulté en math :cry:

[Nightmare]

C'est bien ça, par convergence, la suite est bornée à partir d'un certain rang (puisque contenue dans un intervalle centré en la limite) et avant ce rang, on a une nombre fini de terme, donc bornés aussi.

Bon je crois qu'on a fait le tour de tous les théorèmes de ton cours je pense. Tu ne devrais pas non plus avoir de mal à montrer la propriété que tu connais bien "une suite croissante et majorée est convergente", même chose pour décroissante et minorée.

Et je suis sûr qu'avec un peu de temps et de réflexion, tu arriverais à montrer que de toute suite bornée, on peut extraire une sous-suite convergente ! :lol3: (c'est déjà un théorème un peu plus gros).

[Nightmare]

J'aimerais bien prendre des cours de math moi, parce que en autodidacte j'apprend certes mais trois points chiants :

-j'avance àa ma vitesse ( donc flemmardise = progression nulle )
-les méthodes et les rédactions ... C'est les miennes , donc pas génial
-un prof c'est surement le pied, on passe pas 1h a comprendre un truc con ...

Mais bon, mes parents sont pas super chauds .. d'autant que pour eux je suis pas en difficulté en math

Ben, c'est vrai que prendre des cours quand on est pas en difficulté (c'est même le contraire là !) c'est pas trop utile ! Je rigolais pour mon élève, déjà qu'on a du mal à calculer des primitives je ne vais pas l'achever avec ce genre d'exercice.