Limite de suite

[benekire2]

et après on en déduit le reste par récurrence ?

[Nightmare]

Par récurrence? Sur quoi? Et pour prouver quoi?

Que trouves-tu déjà en prenant p et q comme suggéré?

[benekire2]

que U(2n)<2/n
la limite de U vaut donc 0
après avec n et n+1 on a :
U(2n+1)<(2n+1)/n²+n)

là aussi la limite de U vaut 0




Voilà ce que l'on a .

Après moi je voulais faire une récurrence sur k dans q=n+k
mas ça sert probablement a rien.

[Nightmare]

que U(2n)<2/n
la limite de U vaut donc 0
après avec n et n+1 on a :
U(2n+1)<(2n+1)/n²+n)

là aussi la limite de U vaut 0

La limite de U? t'as juste montré que les sous-suites u(2n) et u(2n+1) convergent vers 0. Peut on en déduire que u(n) converge vers 0 ?

[benekire2]

a ba oui, j'avais même pas vu. Comme les deux sous suites converge la suite converge aussi.

[Nightmare]

And why???

[benekire2]

tout compte fait faudrait pas prendre une troisième sous suite ?

[benekire2]

parce que les deux suites convergent et que U est positive.

[Nightmare]

c'est un peu le même raisonnement que celui que tu as a priori suivi pour ton exercice du topic [TS+]blabla

[Nightmare]

parce que les deux suites convergent et que U est positive.

Oui mais pourquoi la convergence des deux sous-suite u(2n) et u(2n+1) vers 0 implique-t-elle la convergence de u(n) vers 0? (C'est la partie délicate du problème pour un élève de term)

[Nightmare]

errata > ce n'est pas exactement le même raisonnement que dans ton topic.

Dans le tient, on dit que si une suite converge alors toutes ses sous-suites convergent vers la limite de la suite et on utilise la contrapposée avec les sous-suites particulière u(2n) et u(2n+1)

Ici, c'est une sorte de réciproque, on veut montrer que la convergence des deux sous-suites particulières u(2n) et u(2n+1) vers la même limite implique la convergence de la suite vers cette même limite.

[benekire2]

oui c'est délicat parce que il faut revenir à la def.

Et bien la définition ( que je viens d'apprendre) nous dit que u converge vers L ssi pour tout e de R*+ il existe A tel que pour tout n>A => Un - L il faut donc trouver le A .

Après on a trouver un A' qui fonctione pour les 2n et un A'' pour les impairs donc on prend le plus grand des deux et ça devrait aller :bad:

Faut sérieusement que je voie un exemple rédigé ...

[benekire2]

errata > ce n'est pas exactement le même raisonnement que dans ton topic.

Dans le tient, on dit que si une suite converge alors toutes ses sous-suites convergent vers la limite de la suite et on utilise la contrapposée avec les sous-suites particulière u(2n) et u(2n+1)

Ici, c'est une sorte de réciproque, on veut montrer que la convergence des deux sous-suites particulières u(2n) et u(2n+1) vers la même limite implique la convergence de la suite vers cette même limite.

je vois c'est pour ça que je sais pas trop

[Nightmare]

Il y a de l'idée.

On sait donc que, à epsilon fixé, il existe un rang A et un rang A' tels que :

.

Soit maintenant n quelconque. Supposons qu'il soit pair, de la forme 2p. On voudrait trouver un certain rang à partir duquel on soit sûr que . D'après ce qui est en accolade, il suffit de prendre p > A, ou autrement dit n > 2A.

Même idée si n est impair où l'on prend n > 2A+1.

Conclusion, à quel rang débuter pour être sûr que si n est supérieur à ce rang, alors |u(n)| < e ?

[benekire2]

2A+2 enfin je crois ou peut être même 2A+1

mais je vois pas, on ne sait pas lequel de A ou A' est le plus grand ? Donc comment choisir A ou A'

[Nightmare]

Même idée si n est impair où l'on prend n > 2A+1.

Il fallait lire 2A'+1 bien sûr.

Donc on sait que si n est pair, il suffit de prendre 2A, et si n impair, 2A'+1. Conclusion, quelque soit la parité de n, il suffit simplement de prendre le plus grand des deux, autrement dit max(2A,2A'+1)

(faire un dessin avec une droite peut aider grandement :lol3: )

[Anonyme]

Moi je connais presque rien aux suite (pas encore étudié en cours) mais je trouve bien 0 pour le premier exo voila comment j'ai fais:


donc
[TEX]
u_{p+q} +oo ====> pq tend vers +oo car il s'agit d'entier

donc la suite converge vers 0

Mais bon il est très probable que je dis des connerie vu que je n'ai pas encore vu les notions de convergence mais je suppose que c'est comme la limite a l'infini pour les fonctions.

[benekire2]

Il fallait lire 2A'+1 bien sûr.

Donc on sait que si n est pair, il suffit de prendre 2A, et si n impair, 2A'+1. Conclusion, quelque soit la parité de n, il suffit simplement de prendre le plus grand des deux, autrement dit max(2A,2A'+1)

(faire un dessin avec une droite peut aider grandement :lol3: )

voilà, je me disais bien qu'on pouvait pas savoir lequel des deux était le plus grand :mur:

Pour le tout premier exo, j'ai conjecturer que la limite de (un)^(1/n) valait 1
c'est déjà ça au moins ?

[benekire2]

Moi je connais presque rien aux suite (pas encore étudié en cours) mais je trouve bien 0 pour le premier exo voila comment j'ai fais:


donc
[TEX]
u_{p+q} +oo ====> pq tend vers +oo car il s'agit d'entier

donc la suite converge vers 0

Mais bon il est très probable que je dis des connerie vu que je n'ai pas encore vu les notions de convergence mais je suppose que c'est comme la limite a l'infini pour les fonctions.

oui mais on a pas le droit de faire tendre deux variables vers l'infini il me semble ...

moi j'avais réécrit en U(p+q)<1/p+1/q

ça semble logique que la limite en infinie soit 0 mais ; pour le prouver rigoureusement ...

PS: Les suites c'est des fonctions définies sur N ou une partie donc oui les limites c'est pareil .

[Nightmare]

Salut Qmath !

C'est le même problème que Benekire, intuitivement, vos deux raisonnements sont corrects dans le sens où on voit bien que u(n), qui peut s'écrire u(p+q) va être majoré par un truc qui tend vers 0. Le problème est qu'on ne sait pas trop parler de convergence lorsqu'on a deux variables, sauf lorsqu'on en fixe une et qu'on fait varier l'autre. L'idée est alors d'écrire p et q avec une même variable n et appliquer vos raisonnement (c'est ce que j'ai proposé à Benekire de faire en prenant p=q=n et p=n,q=n+1, on aurait pu prendre autre chose)