Limite de suite

[benekire2]

Et bien il existe forcément un entier supérieur à x et un autre inférieur. Enfin, pour moi ça semble facile mais en y réfléchissant, c'est pas si trivial ...

Après ça fonctionne pour montrer l'unicité ?

[Zweig]

Benekire2 > Cela découle du fait que est archimédien si mes souvenirs sont bons, chose qu'on ne voit pas en T°S (même si la propriété est intuitivement évidente).

[Nightmare]

"forcément" n'a jamais rien démontré :lol3:

Pour l'unicité, ça vient du fait qu'une partie majorée non vide de Z admet forcément un plus grand élément. Question : Quelle partie de Z nous intéresse ici?

[benekire2]

Ouais je sais .. enfin c'est bizarre.

Pour ta question, je suis pas sur de comprendre le sens de la question.

[Nightmare]

La partie entière est définie comme "le plus grand entier inférieur à x"

Naturellement, pour le définir on va donc considérer le sous-ensemble de Z constitué de tous les entiers inférieurs à x.

Cet ensemble est bien sûr majoré (par x) et non vide. Du coup, il possède un plus grand élément (unique donc) qu'on appelle partie entière.

Bizarrement, le point "délicat" est de justifier que l'ensemble est non vide. Pour cela on a besoin d'une propriété de R qui s'appelle l'archimédianité, à savoir que, pour deux nombres réels A et B strictement positifs donnés, on va pouvoir trouver un coefficient multiplicatif entier n tel que nA soit plus grand que B.

Bref, tout cela est admis au lycée et découle de la (enfin, d'une ...) construction de R qui n'est donc pas vue, malheureusement, à ce niveau.

[benekire2]

ouais ... j'avais été voir l'archimédianité sur wiki, mais comme j'ai toujours pas fais le cours sur les structures algébriques usuelles ça sert a rien, même si intuitivement c'est pas dur ( en restant intuitif beaucoup de choses sont simples, mais quand on passe sur le papier... )

[Nightmare]

En gros, ici la partie qui nous intéresse de l'archimédianité est pour A=1, à savoir qu'étant donné un réel fixé, on pourra toujours trouver un entier qui lui soit supérieur. La propriété d'archimédianité découle de l'axiome de la borne sup, à savoir qu'une partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure.

[Ben314]

...La propriété d'archimédianité découle de l'axiome de la borne sup...

J'aimerais savoir comment tu fait...
Il me semble que les deux sont de natures trés différentes :
Le premier (archimédien) dit que R "n'est pas trop gros" [tout réel est majoré par un entier, il n'y en a pas de réels trés trés grands (ni de trés trés petits)]
Le deuxième dit que R "n'est pas trop petit" [il y a assez de réels pour fournir des bornes sup à toute partie non vide majorée]

[Nightmare]

Ben >

Si l'ensemble des était majoré, il admettrait une borne sup x, mais , qui n'est pas un majorant des peut alors être majoré par un certain . Du coup majore x...

[Ben314]

Tient, effectivement, oui !!!

J'avais jamais fait gaffe que l'axiome de la borne sup regroupes à lui seul les deux axiomes usuels de l'analyse réelle (archimédien et segments emboités)

J'était convaincu (à tort) qu'il était équivalent au seul axiome des segments emboités...

[Nightmare]

Et ça se dit prof...

:lol2:

[Nightmare]

Cela dit, c'est vrai que ce n'est pas naturel que l'archimédianité découle de la borne sup, la preuve en prenant Q à la place de R.