moi ça dépend quelles primitives, genre racine(1-x²) oui j'ai galéré un moment alors qu'un prof m'aurait expliqué ...
Enfin bon ... ça m'énerve un peu , j'ai toujours l'impression de perdre du temps quand j'apprends rien, et pire, ça m'angoisse en fait.
Pour la démo du dernier théorème , en feuilletant mon manuel de MPSI je l'ai vu, la démo m'a l'air caustaude quand même
Limite de suite
par Nightmare » 25 Fév 2010, 17:41
La démo est plus dure à écrire que les autres, mais intuitivement presque aussi simple (c'est le procédé de dichotomie, bien connu)
par benekire2 » 25 Fév 2010, 17:43
ouais faut voir ...
Bon alors première pierre à l'édifice:
Il existe M tel que pour tout n u(n)
Bon alors première pierre à l'édifice:
Il existe M tel que pour tout n u(n)
par Nightmare » 25 Fév 2010, 17:45
Si tu veux, vu que c'est un peu difficile de retrouver la preuve comme ça je te propose autre chose : Lis la preuve qui se trouve dans ton manuel, essaye de la comprendre puis de m'expliquer, avec tes mots, en quoi elle consiste (c'est peut être plus simple comme ça).
Edit : Je te laisse cogiter dessus, je quitte le forum l'élève vient d'arriver.
Edit : Je te laisse cogiter dessus, je quitte le forum l'élève vient d'arriver.
par benekire2 » 25 Fév 2010, 18:37
Ce bouquin me donne toujours plus envie d'en apprendre ,c'est fou :zen:
Alors, la suite étant bornée par m et M
On cherche a construire des segments emboités, de façon à ce qu'il y ai une infinité de termes dans chaque segment.
Donc I_0 =[m;M] contient tout les termes de la suite et on suppose construit I_n=[a_n;b_n] tel qu'il y ai une infinité de termes de la suite à l'intérieur.
De là on cherche un sous intervalle qui contienne un infinité de termes et on sait que soit [a_n;(a_n+b_n)/2] ou [(a_n+b_n)/2;b_n] le satisfait et on le choisi pour I_(n+1)
La longueur des segments tend vers 0 ; leur intersection contient donc un unique réel l qui est la limite des suites a et b .
ETAPE 2 ; il faut l'extraire !!
on va construire une application f strictement croissante de N dans N tel que la suite u(f(n)) soit convergente..
On pose f(0)=0 donc a_0
f est donc bien définie par récurrence et on a par stricte croissance :
et on a : a_n
par application du théorème des gendarmes, la suite converge!!
J'en déduis donc que j'aurai été strictement incapable d'un telle preuve !!!
Alors, la suite étant bornée par m et M
On cherche a construire des segments emboités, de façon à ce qu'il y ai une infinité de termes dans chaque segment.
Donc I_0 =[m;M] contient tout les termes de la suite et on suppose construit I_n=[a_n;b_n] tel qu'il y ai une infinité de termes de la suite à l'intérieur.
De là on cherche un sous intervalle qui contienne un infinité de termes et on sait que soit [a_n;(a_n+b_n)/2] ou [(a_n+b_n)/2;b_n] le satisfait et on le choisi pour I_(n+1)
La longueur des segments tend vers 0 ; leur intersection contient donc un unique réel l qui est la limite des suites a et b .
ETAPE 2 ; il faut l'extraire !!
on va construire une application f strictement croissante de N dans N tel que la suite u(f(n)) soit convergente..
On pose f(0)=0 donc a_0
f est donc bien définie par récurrence et on a par stricte croissance :
et on a : a_n
par application du théorème des gendarmes, la suite converge!!
J'en déduis donc que j'aurai été strictement incapable d'un telle preuve !!!
par Nightmare » 25 Fév 2010, 19:12
Ok, c'est la preuve, mais tu n'as fait que la réécrire, je voudrai que tu m'expliques en quoi consiste le raisonnement (pourquoi l'auteur fait-il ça, comment son raisonnement pourrait se traduire graphiquement par exemple?)
D'où viennent ces an, (an+bn)/2 ? Ensuite comment construit-il f?
D'où viennent ces an, (an+bn)/2 ? Ensuite comment construit-il f?
par benekire2 » 25 Fév 2010, 19:21
ben il construit d'abord les suite a et b qui sont les extrémités des segments .
Et donc pour expliquer le bazar avec les an et les (an+bn)/2 c'est que l'intervalle qui contient une infinité de termes de u est scindé en deux. Et on sait qu'au moins un des deux contient une infinité de termes, en effet, imaginons qu'il y ai un nombre fini dans le premier, alors il en reste toujours une infinité dans l'autre...
Bon alors les suites a et b étant définies, et même convergentes vers la même limites ( elles sont adjacentes ) .
Maintenant la suite f. c'est importante qu'elle attérisse sur N puisque on va la mettre en indice sur u.
Je vais mangeR...
Et donc pour expliquer le bazar avec les an et les (an+bn)/2 c'est que l'intervalle qui contient une infinité de termes de u est scindé en deux. Et on sait qu'au moins un des deux contient une infinité de termes, en effet, imaginons qu'il y ai un nombre fini dans le premier, alors il en reste toujours une infinité dans l'autre...
Bon alors les suites a et b étant définies, et même convergentes vers la même limites ( elles sont adjacentes ) .
Maintenant la suite f. c'est importante qu'elle attérisse sur N puisque on va la mettre en indice sur u.
Je vais mangeR...
par Nightmare » 25 Fév 2010, 19:34
Ca n'explique toujours rien (en même temps je ne t'en veux pas, ce que je demande n'est pas très clair non plus).
Voici par exemple, une explication que j'attendais :
Appelons m et M les deux bornes de la suite. On veut créer, de cette suite bornée, une sous-suite convergente. Cela consiste donc à "retirer" (dans l'ordre) des termes à la suite pour qu'à la fin la suite des nombres restant converge, ou inversement, à n'en choisir qu'un dans des groupes de termes.
Si l'on coupe l'intervalle [m,M] en deux, au moins un des deux morceaux, comme tu le dis, va contenir une infinité de terme, ce qui nous permet en particulier de réitérer le procéder. On va donc à chaque fois créer des morceaux de plus en plus petit. Le principe est alors de prendre à chaque fois un terme de la suite dans chacun de ces morceaux (chose possible puisque chaque morceau contient une infinité de valeur de la suite, donc en particulier, une :lol3: ). Comme les morceaux sont de plus en plus petit et emboités, les termes qu'on va alors choisir vont au fur et à mesure se concentrer vers une même valeur. Autrement dit, on a extrait une suite de terme convergente.
Voici par exemple, une explication que j'attendais :
Appelons m et M les deux bornes de la suite. On veut créer, de cette suite bornée, une sous-suite convergente. Cela consiste donc à "retirer" (dans l'ordre) des termes à la suite pour qu'à la fin la suite des nombres restant converge, ou inversement, à n'en choisir qu'un dans des groupes de termes.
Si l'on coupe l'intervalle [m,M] en deux, au moins un des deux morceaux, comme tu le dis, va contenir une infinité de terme, ce qui nous permet en particulier de réitérer le procéder. On va donc à chaque fois créer des morceaux de plus en plus petit. Le principe est alors de prendre à chaque fois un terme de la suite dans chacun de ces morceaux (chose possible puisque chaque morceau contient une infinité de valeur de la suite, donc en particulier, une :lol3: ). Comme les morceaux sont de plus en plus petit et emboités, les termes qu'on va alors choisir vont au fur et à mesure se concentrer vers une même valeur. Autrement dit, on a extrait une suite de terme convergente.
par benekire2 » 25 Fév 2010, 19:57
ah d'accord, tu voulais la version littéraire ... enfin c'est bizarre, j'avoue que même si j'ai compris c'est pas très naturel quand même !!
par Nightmare » 25 Fév 2010, 20:14
Et pourtant, la dichotomie est un procédé très naturel, dont tu as dû d'ailleurs te servir certaines fois dans ta vie sans t'en rendre compte.
par benekire2 » 25 Fév 2010, 20:20
c'est pas le problème la dichotomie, je connais, mais la preuve j'aurais été incapable de la faire moi même
par Nightmare » 25 Fév 2010, 20:24
Ben la preuve, c'est exactement le principe de dichotomie :lol3: Mais tu veux surement dire que tu aurais été incapable de voir qu'il fallait faire une dichotomie. En fait, ce n'est pas la seule méthode d'extraction, mais disons la plus simple.
par benekire2 » 25 Fév 2010, 21:00
oui voilà j'aurais pas été capable de dire qu'il fallait faire une dichotomie
par Ben314 » 26 Fév 2010, 10:56
Salut tout les deux,
Evidement, je me sens obligé de mettre "mon grain de sel" dans la discution... :zen:
Il me semble que, que ce soit un élève de term ou un taupin, pour démontrer que "toute suite bornée admet une sous suite convergente", il y a un petit problème technique concernant ce que l'on va admettre concernant les réels (je ne sais pas si une des constructions des réels est faite en prépa).
Je précise ma penssée, si on considère les 5 théorèmes suivants (on pourrait en mettre d'autres) :
1) Toute suite croissante et majorée converge.
2) De toute suite bornée on peut extraire une sous suite convergente.
3) Toutes les suites de cauchy sont convergentes
4) Toute partie non vide et majorée admet une borne supérieure
5) Toute suite décroissante (pour l'inclusion) d'intervalles fermés bornés (non vides) à une intersection non vide.
Alors, de n'importe lequel des 5, on peut démontrer "proprement" les 4 autres, mais, si on ne sait pas construire R, il faut prendre un des 5 comme un axiome (i.e. comme étant vrai par... définition de R)
Or, il me semble que si on ne lui précise pas quel axiome on admet pour démontrer par exemple le théorème 2), je pense qu'un term ou un sup ne va pas l'inventer.
Tout ça pour dire qu'a mon sens, si on demande à un élève de prouver le théorème 2), on se doit de lui préciser lequel des 4 autres est admis.
P.S. Pour la preuve par dichotomie trouvé dans un bouquin de Benekire, pour conclure, il faut admettre le 1) ou le 5).
P.S.2 On peut effectivement dire que pour le 1), il n'est pas utile de préciser qu'on l'admet, vu qu'il est déjà admis (sans preuve et pour cause !!!) en terminale.
Evidement, je me sens obligé de mettre "mon grain de sel" dans la discution... :zen:
Il me semble que, que ce soit un élève de term ou un taupin, pour démontrer que "toute suite bornée admet une sous suite convergente", il y a un petit problème technique concernant ce que l'on va admettre concernant les réels (je ne sais pas si une des constructions des réels est faite en prépa).
Je précise ma penssée, si on considère les 5 théorèmes suivants (on pourrait en mettre d'autres) :
1) Toute suite croissante et majorée converge.
2) De toute suite bornée on peut extraire une sous suite convergente.
3) Toutes les suites de cauchy sont convergentes
4) Toute partie non vide et majorée admet une borne supérieure
5) Toute suite décroissante (pour l'inclusion) d'intervalles fermés bornés (non vides) à une intersection non vide.
Alors, de n'importe lequel des 5, on peut démontrer "proprement" les 4 autres, mais, si on ne sait pas construire R, il faut prendre un des 5 comme un axiome (i.e. comme étant vrai par... définition de R)
Or, il me semble que si on ne lui précise pas quel axiome on admet pour démontrer par exemple le théorème 2), je pense qu'un term ou un sup ne va pas l'inventer.
Tout ça pour dire qu'a mon sens, si on demande à un élève de prouver le théorème 2), on se doit de lui préciser lequel des 4 autres est admis.
P.S. Pour la preuve par dichotomie trouvé dans un bouquin de Benekire, pour conclure, il faut admettre le 1) ou le 5).
P.S.2 On peut effectivement dire que pour le 1), il n'est pas utile de préciser qu'on l'admet, vu qu'il est déjà admis (sans preuve et pour cause !!!) en terminale.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Nightmare » 26 Fév 2010, 11:47
Salut Ben !
Je suis d'accord mais en Term, disons que ça ne pose pas de problème vu la foule de choses que l'on admet à ce niveau (par exemple, aucun élève ne se demande pourquoi on a le droit de définir de manière unique la partie entière d'un nombre réel :lol3:
Je suis d'accord mais en Term, disons que ça ne pose pas de problème vu la foule de choses que l'on admet à ce niveau (par exemple, aucun élève ne se demande pourquoi on a le droit de définir de manière unique la partie entière d'un nombre réel :lol3:
par benekire2 » 26 Fév 2010, 12:26
si si , enfin, moi en tout cas la "partie entière" je la définie comme l'unique entier n tel que :
et on voit l'unicité . Enfin imo.
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