Limite somme k^4/k!

[t.itou29]

Bonsoir,
J'essaie de généraliser le résultat d'un problème :
" Évaluer "

En dérivant 4 fois l'égalité suivante

et en évaluant en 0, j'ai trouvé 15e.

J'aimerais bien trouver une formule pour la limite avec au lieu de k^4, k^n où n est un entier naturel. Pour cela je dois trouver la dérivée n-ième de mais je trouve pas de formule, en calculant à là main je vous bien que je tombe sur une somme de avec mais je n'arrive pas à trouver de relation pour les coefficients devant les exponentielles...

[chan79]

salut
Je n'ai pas de formule mais on peut utiliser un tableur

Le 15 de (B,5) est égal à 2*7+1
Le 31 de (B,6) est égal à 2*15+1
etc en recopiant vers le bas
de même
Le 6 de (C,4) est égal à 3*1+3
Le 25 de (C,5) est égal à 3*6+7
Le 10 de (D,5) est égal à 4*1+6
...
Si on pose
La ligne 4 correspond à:
avec

En rouge, sur la même ligne, la somme donne 15 et la somme demandée pour n=4 est 15e
La somme pour n=5 est 52e

On pourrait (peut-être) expliciter les coefficients en fonction de n en utilisant des suites .
Dans la cellule (B,n), on a
Dans (B,8) on a:

Dans la cellule (C,n):

[t.itou29]

salut
Je n'ai pas de formule mais on peut utiliser un tableur

Le 15 de (B,5) est égal à 2*7+1
Le 31 de (B,6) est égal à 2*15+1
etc en recopiant vers le bas
de même
Le 6 de (C,4) est égal à 3*1+3
Le 25 de (C,5) est égal à 3*6+7
Le 10 de (D,5) est égal à 4*1+6
...
Si on pose
La ligne 4 correspond à:
avec

En rouge, sur la même ligne, la somme donne 15 et la somme demandée pour n=4 est 15e
La somme pour n=5 est 52e

On pourrait (peut-être) expliciter les coefficients en fonction de n en utilisant des suites .
Dans la cellule (B,n), on a
Dans (B,8) on a:

Dans la cellule (C,n):

Pour remplir les cases, D,E..,H tu as calculé la dérivée et rempli manuellement ou tu as mis une formule dans le tableur ?
Je viens de rentrer les 5 premières valeurs dans wolfram Alpha (1,2,5,15,52) et il me dit que ce sont les nombres de Bell, je vais regarder sur wiki ce que c'est

[chan79]

Pour remplir les cases, D,E..,H tu as calculé la dérivée et rempli manuellement ou tu as mis une formule dans le tableur ?
Je viens de rentrer les 5 premières valeurs dans wolfram Alpha (1,2,5,15,52) et il me dit que ce sont les nombres de Bell, je vais regarder sur wiki ce que c'est

J'ai mis des formules après avoir calculé les dérivées, par exemple:
en B3: =2*B2+A2 et recopie vers le bas
en C4: =3*C3 +B3 et recopie vers le bas
en D5: =4*D4+C4 et recopie vers le bas

etc

Effectivement, ce sont les nombres de Bell. Bien vu!
Tu as une démo dans wiki

[t.itou29]

J'ai mis des formules après avoir calculé les dérivées, par exemple:
en B3: =2*B2+A2 et recopie vers le bas
en C4: =3*C3 +B3 et recopie vers le bas
en D5: =4*D4+C4 et recopie vers le bas

etc

Effectivement, ce sont les nombres de Bell. Bien vu!
Tu as une démo dans wiki

C'est assez étonnant le lien entre le nombre de partition d'un ensemble et la fonction exponentielle !
Par contre je comprends pas très comment à partir de la réécriture de la relation de récurrence, on peut montrer que la série satisfait l'equa diffirentielle ?