Limite fine en l'infinie

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J-R
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limite fine en l'infinie

par J-R » 04 Aoû 2007, 18:37

bonjour,

me voilà encore embêté avec les limites:

je veux démontrer que :



à l'aide de la caractérisation:



j'aimerais apprendre à le rédiger correctement

merci :)



emdro
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par emdro » 04 Aoû 2007, 18:42

Je commence pour toi:

Soit ...
Ton travail est de me trouver le A tel que...

NB1 Je vois que mon exo t'a plu!
NB2 Dans la pratique, personne ne rédigera ainsi: on préférera utiliser la limite de la fonction inverse qui est supposée connue.

emdro
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par emdro » 04 Aoû 2007, 18:50

Petit aide: essaie de résoudre


J-R
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par J-R » 04 Aoû 2007, 19:05

ouiais je m'y étais intéréssé et j'avais rédiger comme cela:

soit fixé,





et

à partir de là ca prouve que ?

(j'avais bien compris la méthode d'hier et j'aimerais comprendre celle ci aussi...)

merci :happy2:

emdro
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par emdro » 04 Aoû 2007, 19:10

J-R a écrit:
et

à partir de là ca prouve que ?


Non pas vraiment, je dirais plutôt
sachant qu'on ne s'intéresse qu'aux x positifs.
Donc tu as trouvé ton seuil ! Reste à le rédiger dans l'ordre (ce q'on a écrit, c'était le brouillon). Je te laisse faire...

lapras
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par lapras » 04 Aoû 2007, 19:18

Bonjour !
Je trouve cette maniere interressante de démontrer des limites.
Je ne suis pas sur d'avoir bien compris, mais il s'agit de trouver un seuil tel que pour tout x supérieur à ce seuil, alors
|l - f(x)| <= e
tel que e > 0
ca prouverait donc que f(x), quand x est > au seuil, se rapproche de 0, donc la limite de f(x) est l ?
C'est la premiere fois que je vois ce genre de méthode, est elle abordée en 1ere S? :stupid_in

J-R
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par J-R » 04 Aoû 2007, 19:20

en fait là je cherche un réel positif A tel que si x est plus grand que ce seuil alors f(x) converge vers l à +/- près ?

en l'occurence si on pose on a fixé un seuil vérifiant notre condition donc fin de la démo...

merci :we:

lapras
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par lapras » 04 Aoû 2007, 19:21

Mais e doit etre tres petit, non ?

emdro
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par emdro » 04 Aoû 2007, 19:25

lapras a écrit:ca prouverait donc que f(x), quand x est > au seuil, se rapproche de 0, donc la limite de f(x) est l ?


Oui c'est cela, à part ta faute de frappe: c'est f(x)-L qui tend vers 0 et donc f(x) qui tend vers L.

Le point clé de la méthode est que cela doit fonctionner POUR TOUT epsilon>0, aussi petit soit il. Dans l'idée, plus epsilon est petit, plus le seuil sera grand, mais il faut qu'à partir de là, f(x) ne s'éloigne pas de plus de epsilon de L.

Cette méthode (qui est la vraie définition de la limite) doit être comprise dans son principe en première et en terminale, même si en pratique, on n'attend pas de vous que vous manipuliez à tout va les Epsilon, et les A...

J-R
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par J-R » 04 Aoû 2007, 19:26

lapras: j'avais pas vu ton post: oui je le comprend aussi comme ca

epsilon est une valeur infinitésimal (depuis le temps que je voulais le sortir ce mot.... :) ) donc aussi petit que ton imagnation te le permet....

à confirmer

lapras
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par lapras » 04 Aoû 2007, 19:29

Ok le principe est simple, mais c'est vrai que je vais pas sortir cette rédaction en devoir lol !

emdro
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par emdro » 04 Aoû 2007, 19:30

J-R a écrit:lapras: j'avais pas vu ton post: oui je le comprend aussi comme ca

epsilon est une valeur infinitésimal (depuis le temps que je voulais le sortir ce mot.... :) ) donc aussi petit que ton imagnation te le permet....

à confirmer


Oui et non.

Epsilon peut valoir 100. Mais dans ce cas, ce n'est pas bien difficile d'être inférieur à 100! Evidemment la partie qui nous intéresse, c'est pour epsilon petit.
Qui peut le plus peut le moins.

Mais on ne demande pas à epsilon d'être infinitésimal (voir analyse non standard). On remplace cette idée par l'exigence que cela marche POUR TOUT epsilon>0.

emdro
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par emdro » 04 Aoû 2007, 19:31

J-R a écrit:en fait là je cherche un réel positif A tel que si x est plus grand que ce seuil alors f(x) converge vers l à +/- près ?

en l'occurence si on pose on a fixé un seuil vérifiant notre condition donc fin de la démo...

merci :we:


Au passage, autant faire les choses bien: peux-tu écrire toute la rédaction proprement (ce qui était ta question initiale)?

J-R
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démonstration finale

par J-R » 04 Aoû 2007, 19:49

ok merci pour tes éclaircissements....

ma démo:

soit fixé,



=>

=> et

=> et

or x tend vers donc on se limite à (je ne sais pas trop comment le dire...):



si on pose alors

par conséquent on a démontré que:



merci :)

emdro
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par emdro » 04 Aoû 2007, 19:56

Mieux vaut rédiger à l'envers de ce que tu as fait:

soit fixé,
Posons

Si alors
D'où
ou encore
On a prouvé que

Tu remarqueras que c'est souvent le cas: la solution est présentée à l'envers de ce qu'on a cherché au brouillon.

emdro
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par emdro » 04 Aoû 2007, 19:59

On est souvent d'accord au mot près.
Quelle est notre liberté face aux mathématiques? :lol4:

J-R
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par J-R » 04 Aoû 2007, 20:03

emdro a écrit:

D'où


il ne manque pas une justification entre ces 2 étapes ?

sinon c'est nickel

merci encore emdro :bravo c'est super !:

emdro
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par emdro » 04 Aoû 2007, 20:05

J-R a écrit:il ne manque pas une justification entre ces 2 étapes ?


Le fait que x est positif, éventuellement. Sinon, 1-1=0, on peut le balancer directement! :ptdr:

Bye!

J-R
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par J-R » 04 Aoû 2007, 20:10

merci à vous deux

a+ :++:

emdro
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par emdro » 04 Aoû 2007, 20:14

Oui sur ce genre de problème simple. Mais au point d'adopter au mot près la même rédaction... On serait un peu formaté par la prépa que je ne m'étonnerais pas plus que cela (efficacité, irréprochabilité...).

Je pense à cela car j'ai constaté que la créativité en maths décroît assez dramatiquement entre la seconde et la terminale.

 

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