Isometries!!

[Douditoue]

Salut tout le monde!! J espere que vous allez bien. Enfaite j ai deux questions dans deux exercices differents la 1ere:
On a ABC triangle rectangle et isocele directe en A Et I=A*B et J=A*C et enfin K=B*C
Soit f une isometrie qui laisse globalement invariant ABC on nous demande :
Montrer que f(A)=A et f(K)=K puis de deduire toutes les isometries qui laissent invariable ABC

2eme question : un autre exercice on a ABCD Carre direct et Delta mediatrice de [BC]
On a f isometrie distincte de la symetrie S delta tq f(B)=C et f(D)= A
La question : montrer que O=B*D est invariant par f et que c est l unique point invariant du plan par f
MERCI a tous ceux qui vont m aider

[mathelot]

bonsoir,
il y a une technique de démonstration (utilisée notamment pour classer les isométries)
qui est de rajouter des points fixes.
Par exemple, si f est une isométrie du triangle et
f(B)=C, on compose par une rotation r telle vaille
on rajoute ainsi des points invariants jusqu'à obtenir l'identité du plan.
On démontre le résultat cherché et on recompose par les inverses des transformations pour obtenir enfin les images des sommets par f

[Douditoue]

bonsoir,
il y a une technique de démonstration (utilisée notamment pour classer les isométries)
qui est de rajouter des points fixes.
Par exemple, si f est une isométrie du triangle et
f(B)=C, on compose par une rotation r telle vaille
on rajoute ainsi des points invariants jusqu'à obtenir l'identité du plan.
On démontre le résultat cherché et on recompose par les inverses des transformations pour obtenir enfin les images des sommets par f

Pour etre honnete j ai pas vraiment compris ce que vous venez de dire mais merci quand meme pour votre reponse

[mathelot]

Et I=A*B et J=A*C et enfin K=B*C

je n'ai pas compris ces notations; s'agit il de milieux de segments ?

[Douditoue]

Et I=A*B et J=A*C et enfin K=B*C

je n'ai pas compris ces notations; s'agit il de milieux de segments ?

Oui

[mathelot]

question 1
une isométrie qui conserve globalement le triangle ABC effectue une permutation des sommets.
l'hypoténuse BC est le plus grand segment du convexe ABC.
donc les sommets B,C sont fixés par l'isométrie ou sont permutés
(f(B)=B et f(C)=C ) ou (f(B)=C et f(C)=B)
dans les deux cas, f(A)=A
Une isométrie du plan est une transformation affine.
la paire \{B;C\} étant globalement conservée par f, le milieu K est fixé par l'isométrie.
si (f(B)=C et f(C)=B) , on compose par la symétrie axiale \sigma_{(AK)} et
\sigma_{(AK)} \circ f a trois points fixes.
à suivre...