Intersections de deux hyperboles

[0N17]

Bonjour,
J'ai une question toute simple.

Comment trouver les 4 points d'intersections (complexes et réels) de deux hyperboles ou élipse ?

équation d'une hyperbole ou élipse :

a x² + a' y² + b xy + c x + c' y + d = 0
Avec a et a' non nuls.

La seule différence entre une équation d'hyperbole et une équation d'élipse est que a et a' n'ont pas le même signe dans une hyperbole.

Je réfléchi à cette question depuis plusieurs mois, j'en ai parlé avec ma professeure de mathématiques, qui n'a pas réussi à la résoudre, même avec l'aide de ses collègues.



première piste à éviter : exprimer x en fonction de y ou inversement : on obtient une équation au 4e degrès, donc 4 solutions, puis pour calculer la deuxième inconnue, on en obtient 8, soit deux fois plus du nombre de solution maximal…



deuxième piste à éviter : factoriser les hyperboles (ou élipses) comme suit :

(Ax + By + C)(A'x + B'y + C')

Cela pourrait fonctionner, mais pour la majorité des équations, on obtient l'un de ces résultats :

(Ax + By + C)(A'x + B'y + C') + D
(Ax + By + C)(A'x + B'y + C') + Dx
(Ax + By + C)(A'x + B'y + C') + Dy


puis il est impossible d'aller plus loin …

Merci à ceux qui arriveraient à résoudre cela.

[Ben314]

Salut,
On peut éventuellement faire sans, mais la théorie "qui va bien" pour ce type de problème, c'est celle de résultant de deux polynômes : tu regarde tes deux équations comme des polynômes en (par exemple) avec considéré comme constant et le résultant des deux polynômes (qui va être un polynôme en ) te donne une condition nécessaire et suffisante pour que les deux polynômes (en ) aient une racine commune.

Et si tu veut chercher toi même une solution, tu peut commencer par regarder si tu arrive à trouver à quelle condition (polynomiale en les variables ) les deux polynômes et ont une racine commune.