Intégration par parties

[Ich]

Bonjour
quelqu'un pourrais m'aider pour cette question svp​
Soit n€N
In = ∫ (de 0 à 1)( x ^(2n+1))/√(x^2+1)dx
Montrer que
(2n+3) I n+1 =√2-(2n+2)In
Merci d'avance.

[catamat]

Bonjour

Dans une intégration par parties,il y a une partie que l'on dérive et l'autre que l'on intègre.

Le tout c'est de bien choisir...

On sait que √u ' = u'/(2√u)

Donc u'/(2√u) a pour primitive √u

Essayer de faire apparaitre u'/(2√u) dans la fonction à intégrer

[Ich]

Bonjour
Merci catamat
J ai essayé de le faire
X/√(x^2+1)→primitive √(x^2+1)
X^2n+2→dérivé( 2n+2) x ^(2n+1)
Mais j ai trouvé
∫ (de 0a 1) In+1 =√2- ∫ (de 0 à 1) (2n+2)x ^(2n+1)√(x^2+1)dx
Est ce que il s agit d une intégration par parties successives?

[catamat]

Non dans l'intégrale de droite il faut multiplier par √(x^2+1)/√(x^2+1) c'est à dire 1, mais cela permet de retrouver In et I(n+1) (avec des coeff... je donne juste la marche à suivre)
Le terme avec I(n+1) doit rejoindre le membre de gauche pour obtenir le résultat final.

[Ich]

Merci beaucoup catamat pour votre aide