Inequation

[olivia83]

Bonjour

Mon probleme est

montrer que pour tout couple (x,y) de réels tels que 2x+4y=1 on a x²+y²>= 1/20

comment faire?

merci

[Black Jack]

2x+4y=1
Tu en déduis : y = ...

A partir du résultat, tu calcules y² = ...

Et puis, tu remplaces y² par ce que tu as trouvé dans: x² + y²

x² + y² = x² + ...

Tu aboutiras à une fonction ne dépendant que de x.

Ensuite il suffira de calculer le minimum de cette fonction ... et de conclure.

:zen:

[Shaolan]

Salut

Commence par faire un dessin du système :
_ Isole y dans l'équation pour trouver l'équation d'une droite.
_ Remarque que est l'équation d'un cercle dont tu dois connaitre le centre et le rayon.
A partir de là, tu dois pouvoir hachurer sur ton dessin l'aire que définie l'inéquation
_ Trouve l'intersection entre la droite et les hachures


Edit : grillé par Black Jack ^^

[olivia83]

c'est normal que vous dites pas la meme chose??

[Shaolan]

Ecoute ce que Black Jack t'as conseillé de faire, ce que j'ai proposé te permet juste de remarquer quelque chose tandis que sa méthode te donneras le résultat.

Et puis j'allais te conseiller de la même façon par la suite...

[oscar]

Bonjour


La1ère méthode me parait la plus facile
on aboutit à un carré parfait >=0

A toi..

[olivia83]

dans la fonction en fonction de x je trouve un delta negatifi...

[Shaolan]

Tu peux détailler tes calculs s'il te plait ?

[olivia83]

2x+4y=1
y=-1/2x+1/4

x²+y²=x²+(-1/2x+1/4)²
=x²+1/4x²-1/4x+1/16
=5/4x²-1/4x+1/16

delta=(-1/4)²-4*1/16*5/4
=-4/16
=-1/4

....

[Shaolan]

Tu as oublié de repasser le dans le premier membre...

[olivia83]

a oui :marteau:

[Sam Mar]

2x+4y=1
y=-1/2x+1/4

x²+y²=x²+(-1/2x+1/4)²
=x²+1/4x²-1/4x+1/16
=5/4x²-1/4x+1/16

delta=(-1/4)²-4*1/16*5/4
=-4/16
=-1/4

....

Salut,

J'ai pas vérifié les calculs, mais l'erreur vient de la démarche. Là,
tu cherche à montrer que x²+y² est positif, or la question est de montrer
que x²+y² est supérieur à 1/20. Donc ça n'est pas cette équation dont tu
dois calculer le delta mais tu n'es pas loin :we: Bon courage

[olivia83]

donc le delta = 0

la solution est x=-b/2a d'ou x=1/10

en reponse finale je met x=1/10?

[olivia83]

non aprés je remplace dans 2x+4y=1 et le couple est dc (1/10;1/5)

[Shaolan]

En fait, tu n'as fait que résoudre un système de deux équations : la première est une droite, la deuxième un cercle. Ton unique solution est le couple

Qu'est-ce que ça veut dire géométriquement ? Eh bien que le cercle et la droites se coupent en 1 point, celui de coordonnées

Or, ton problème de départ ne mets pas en jeu deux équations, mais une équation et une inéquation. C'est pour cela que je voulais que tu fasses un dessin avant de calculer : ton inéquation est le plan tout entier moins l'intérieur du disque délimité par le cercle d'équation

Relis bien ton énoncé, on ne te demande pas de trouver l'ensemble des couples, on te demande de montrer que tous les couples (x,y) qui vérifient 2x + 4y = 1 sont solutions de l'inéquation .
Eh bien c'est chose faite, puisque les couples qui vérifient 2x + 4y = 1 sont tous les points de cette droite et ils vérifient bien l'inéquation puisque la droite est tangente au cercle.

Fais un dessin, et si tu n'y arrives pas, je mettrai un schéma explicatif.

[Sam Mar]

donc le delta = 0

la solution est x=-b/2a d'ou x=1/10

en reponse finale je met x=1/10?

Si la question de départ est montrer que les éléments de ta droite (les solutions
de la première équation 2x+4y=1) sont à l'extérieure au sens large du disque de rayon racine de 1/20 (c'est ce que représente la deuxième équation x²+y²>= 1/20) alors tu n'as pas besoin d'exhiber les solutions. La plus belles façon de faire je pense c'est de commencer pas :
"Je considère un couple (x,y) vérifiant 2x+4y=1 ..." puis terminer par
"... donc x²+y²>= 1/20". Peut-être c'est pas comme ça qu'on fait, d'autres pourrait confirmer ou infirmer.

J'espère que je suis compréhensible. Bon courage

[olivia83]

je pense que c'est pour tout couple superieur ou egal a (1/10;1/5)

[Shaolan]

Le problème n'est pas de trouver les couples, le problème est de prouver quelque chose.


Voici un dessin qui devrait t'aider, je l'espère...



Graphiquement, l'équation 2x+4y=1 est représentée par la droite orange, l'équation par le cercle orange et l'inéquation par la zone jaune plus le cercle orange.

On voit parfaitement que la droite est contenue dans la zone jaune plus le cercle orange.

La solution que tu as trouvée (x,y) = correspond au point d'intersection entre le cercle et la droite. Cela prouve que la droite est tangente au cercle, donc qu'elle est à l'extérieur de celui-ci.

D'une part l'inéquation défini le plan privé de l'intérieur du disque délimité par le cercle d'équation .
D'autre part, la droite d'équation 2x+4y=1 est tangente à ce cercle d'équation .
Donc quelque soit un point sur cette droite ( le fameux couple (x,y) de ton énoncé ), il vérifie l'inéquation donné.

Voilà, le problème est résolu.