Inéquation

par **Chopin** » 10 Juin 2015, 10:16

Bonjour,

J'aurais besoin d'une petite aide sur les inéquations, du moins une.

J'ai un exemple d'inéquation : 2x³* - 20x² + 6 x + 80 < -2x³ + 4x² + 10x - 40
ce qui donne : 4x³ - 24x² - 4x + 120 < 0

et ensuite dans le cours on passe directement à la forme factorisée

4(x + 2)(x-3)(x-5)<0

Et je n'ai pas trop compris... Si quelqu'un pouvait m'expliquer en détail la façon dont cela a été fait, j'en serais grandement reconnaissant !

Merci

par **ampholyte** » 10 Juin 2015, 10:25

Bonjour,

Il y a une erreur dans la forme factorisée. Si on redéveloppe le résultat :

4(x - 3)(x + 3)(x - 5) = 4(x² - 9)(x - 5) = 4(x³ - 5x² - 9x + 45) = 4x³ - 20x² - 36x + 180, on ne tombe pas vraiment sur la même expression.

Pour factoriser ton expression :

4x³ - 24x² - 4x + 120 = 4(x³ - 6x² - x + 30)

Une remarque que x = 3 est solution de l'équation x³ - 6x² - x + 30 = 0

Donc :
x³ - 6x² - x + 30 = (x - 3)(ax² + bx + c)

Il te suffit ensuite de trouver a, b, et c puis de voir s'il y a une factorisation possible.

par **Chopin** » 10 Juin 2015, 10:29

Effectivement j'ai mal noté... J'en suis désolé. C'est (x+2) et non (x+3)

Du coup je ne comprends pas du tout comment arrivons nous à ce stade là ?

par **ampholyte** » 10 Juin 2015, 10:38

Ok regardons cela :

On commence par factoriser par 4 :
4x³ - 24x² - 4x + 120 = 4(x³ - 6x² - x + 30)

On recherche une solution évidente car tu ne sais pas résoudre une équation du 3eme degrée (en gros on regarde pour x = 0, -1, 1, -2, 2) et on remarque que x = -2 est une solution de l'équation donc :

x³ - 6x² - x + 30 = (x + 2)(ax² + bx + c) avec a, b et c réels à determiner.

On cherche a, b et c :

x³ - 6x² - x + 30 = ax³ + (b + 2a)x² + (c + 2b)x + 2c

On obtient donc :

a = 1
b + 2a = -6 => b = -6 - 2 = -8
c + 2b = -1 => (pour vérifier) c = -1 + 16 = 15
2c = 30 => c = 15

On a donc :
x³ - 6x² - x + 30 = (x + 2)(x² - 8x + 15)

Pour terminer il suffit de chercher les racines de x² - 8x + 15 = 0 avec la méthode de ton choix.

Par exemple en utilisant la formule de la somme et du produit on a :

x1 + x2 = -b /a = 8
x1 . x2 = c / a = 15

On en conclut que x1 = 3 et x2 = 5

D'où :

x³ - 6x² - x + 30 = (x + 2)(x² - 8x + 15) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Donc :
4x³ - 24x² - 4x + 120 = 4(x + 2)(x - 3)(x - 5)

par **Chopin** » 10 Juin 2015, 10:46

ampholyte a écrit:Ok regardons cela :

On commence par factoriser par 4 :
4x³ - 24x² - 4x + 120 = 4(x³ - 6x² - x + 30)

On recherche une solution évidente car tu ne sais pas résoudre une équation du 3eme degrée (en gros on regarde pour x = 0, -1, 1, -2, 2) et on remarque que x = -2 est une solution de l'équation donc :

x³ - 6x² - x + 30 = (x + 2)(ax² + bx + c) avec a, b et c réels à determiner.

On cherche a, b et c :

x³ - 6x² - x + 30 = ax³ + (b + 2a)x² + (c + 2b)x + 2c

On obtient donc :

a = 1
b + 2a = -6 => b = -6 - 2 = -8
c + 2b = -1 => (pour vérifier) c = -1 + 16 = 15
2c = 30 => c = 15

On a donc :
x³ - 6x² - x + 30 = (x + 2)(x² - 8x + 15)

Pour terminer il suffit de chercher les racines de x² - 8x + 15 = 0 avec la méthode de ton choix.

Par exemple en utilisant la formule de la somme et du produit on a :

x1 + x2 = -b /a = 8
x1 . x2 = c / a = 15

On en conclut que x1 = 3 et x2 = 5

D'où :

x³ - 6x² - x + 30 = (x + 2)(x² - 8x + 15) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Donc :
4x³ - 24x² - 4x + 120 = 4(x + 2)(x - 3)(x - 5)

Merci d'avoir pris le temps de me répondre, je vais prendre le temps de lire ce que tu m'as écris et de relire mes leçons pour comprendre au mieux...

par **ampholyte** » 10 Juin 2015, 10:46

Si jamais un point te paraît n'hésite pas à demander j'essayerais de détailler un peu plus ou d'expliquer autrement =).

par **Chopin** » 10 Juin 2015, 11:42

ampholyte a écrit:Si jamais un point te paraît n'hésite pas à demander j'essayerais de détailler un peu plus ou d'expliquer autrement =).

Je comprends mieux maintenant ! Cependant il y a un un détail qui me questionne :

Pourquoi "-2" ?

a = 1
b + 2a = -6 => b = -6 - 2 = -8
c + 2b = -1 => (pour vérifier) c = -1 + 16 = 15
2c = 30 => c = 15

Je l'ai mis en gras pour que cela soit plus clair, merci d'avance ! J'ai déjà bien avancé grâce à votre explication.

par **Chopin** » 10 Juin 2015, 12:12

Je viens de comprendre enfin ! Depuis hier que je me casse la tête, merci ! Il ne me manque plus qu'à m'exercer ^^

par **Black Jack** » 10 Juin 2015, 13:41

Alternative :

4x³ - 24x² - 4x + 120

= 4(x³ - 6x² - x + 30)

Si le polynome x³ - 6x² - x + 30 a des racines entières celles-ci sont obligatoirement dans les diviseurs de 30 (dans Z)
(Car les coeff du polynome sont entiers et que le coeff du x³ est 1)

--> candidats comme solutions entières : 1 , 30 , 2 , 15 , 3 , 10 , 5 et 6 (et les mêmes avec le signe négatif)

P(x) = (x³ - 6x² - x + 30)

Il suffit de calculer P(a) ; P(-a) ... en se limitant au nombres donnés ci dessus.

On trouve alors que P(-2) = 0 ; P(3) = 0 et P(5) = 0

Et donc 4x³ - 24x² - 4x + 120 = 4.(x + 2)(x-3)(x-5)

Il faut ensuite faire un tableau de signe à partir de (x + 2)(x-3)(x-5) pour ...

:zen:

par **Chopin** » 10 Juin 2015, 13:46

Merci pour votre réponse ! Mais je n'ai pas encore vu cette manière, elle m'est inconnue !

par **ampholyte** » 10 Juin 2015, 13:46

Black Jack a écrit:Si le polynome x³ - 6x² - x + 30 a des racines entières celles-ci sont obligatoirement dans les diviseurs de 30 (dans Z)
(Car les coeff du polynome sont entiers et que le coeff du x³ est 1)

Est-ce que cette propriété est déjà vue au niveau lycée ?

par **Black Jack** » 13 Juin 2015, 10:11

ampholyte a écrit:Est-ce que cette propriété est déjà vue au niveau lycée ?

Je n'en sais rien...
Ce qui est encore vu au lycée frise le zéro absolu.

:zen:

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