Inéquation

[darkode]

démontrer que :

( [a + b + c] / 3 )^3 >= abc

Quelque tuyaux ? :D

[Luc]

Salut,

pour changer : inégalité arithmético-géométrique? :we:

[darkode]

Petite démo si possible :)

[tototo]

démontrer que :

( [a + b + c] / 3 )^3 >= abc

Quelque tuyaux ?

Bonjour,

( [a + b + c] / 3 )^3 >= abc =(([a + b + c] / 3 ) -(abc)^(1/3))*terme positif http://fr.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A9_remarquable
ou:
( [a + b + c] / 3 )^3 -abc =(a+b+c)^3/3^3 - abc=((a+b+c)((a+b)^2+c^2+2*(a+b)*c)/27 -abc=((a+b+c)((a^2+b^2+2ab) +c^2+ (2ac+2bc) )/27 -abc
=((a+b+c)((a^2+b^2+c^2+2(ab + ac+bc) )/27- abc
((a^3+b^2a+c^2a+2(a^2b + a^2c+abc) )/27 +((ba^2+b^3+bc^2+2(ab^2 + abc+b^2c) )/27+ ((ca^2+cb^2+c^3+2(abc + ac^2+bc^2) )/27 -abc
=(a^3+b^3+c^3)/27 -abc+....

a³ +b³ +c³ -3abc +(3a²b +3ab² +3abc) +(3b²c +3bc² +3abc) +(3a²c +3ac² +3abc)
http://fr.answers.yahoo.com/question/index?qid=20100928121701AAJUJ6K

[hammana]

Bonjour,

( [a + b + c] / 3 )^3 >= abc =(([a + b + c] / 3 ) -(abc)^(1/3))*terme positif http://fr.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A9_remarquable
ou:
( [a + b + c] / 3 )^3 -abc =(a+b+c)^3/3^3 - abc=((a+b+c)((a+b)^2+c^2+2*(a+b)*c)/27 -abc=((a+b+c)((a^2+b^2+2ab) +c^2+ (2ac+2bc) )/27 -abc
=((a+b+c)((a^2+b^2+c^2+2(ab + ac+bc) )/27- abc
((a^3+b^2a+c^2a+2(a^2b + a^2c+abc) )/27 +((ba^2+b^3+bc^2+2(ab^2 + abc+b^2c) )/27+ ((ca^2+cb^2+c^3+2(abc + ac^2+bc^2) )/27 -abc
=(a^3+b^3+c^3)/27 -abc+....

a³ +b³ +c³ -3abc +(3a²b +3ab² +3abc) +(3b²c +3bc² +3abc) +(3a²c +3ac² +3abc)
http://fr.answers.yahoo.com/question/index?qid=20100928121701AAJUJ6K

Bonsoir

Montrons d'abord que si deux nombres posistifs a,b ont une somme constante S , leur produit ab est maximum lorsque a=b. en effet:
4ab=[(a+b)+(a-b)][(a+b)-(a-b)]=S^2-(a-b)^2. le maximum du produit ab est donc (S/2)^2

Si 3 temes a,b c ont une somme S constante le produit abc est maximum lorsque a=b=c =S/3 et vaut (S/3)^3. Pour le monrer il sufit de laisser à tour de rôle chaque terme constant, laisser varier les 2 autres, et appliquer le résultat précédent.