Inéquation

[darkode]

:we:
( a , b , c ) € (R+)*
démontrez que :
( ab / c ) + ( bc / a ) + ( ac / b ) >= a + b + c

A vous l'honneur :D

[darkode]

Toujours pas ? :hein:

[hammana]

:we:
( a , b , c ) € (R+)*
démontrez que :
( ab / c ) + ( bc / a ) + ( ac / b ) >= a + b + c

A vous l'honneur

1 - L'inéquation peut s'écrire

2 - La somme d'un nombre qque >0 et de son inverse est toujours supérieure à 2 (ou égale à 2 si les nombres sont égaux). On peut le montrer par la dérivée, ou rappeler une propriété bien connue "Si deux nombres ont un produit constant leur somme est minimum quand ils sont égaux)
Donc , de même pour les deux autres termes.

Si ce n'est pas clair, rappelez

[darkode]

Merci pour ton aide précieuse : C'est parfaitement claire ! ^^

[darkode]

Après réflexion ,j'ai pu atteindre le résultat avec deux façon :
grâce a : a+b/2 >= racine(ab)

et la deuxieme :

{(1/a) - (1/b) }²>= 0
donc (1/a²) + ( 1/b² ) >= 2/ab
et pour les autres variable :

(1/a²) + ( 1/c² ) >= 2/ac
donc (1/c²) + ( 1/b² ) >= 2/bc
et j'arrive a la conclusion après addition des inégalité ( les trois ) , au résultat voulu

Le probleme , J'ai essayer de le faire avec a² + b² >= 2ab

Le résultat est tout autre :

( ab / c ) + ( bc / a ) + ( ac / b ) >= (1/a) + (1/b) + (1/c)


Est il possible , de la rendre : ( ab / c ) + ( bc / a ) + ( ac / b ) >= a + b + c ??

Si oui , merci de m'aider ! :) :hein:

[darkode]

Aucune personne ?

[hammana]

Après réflexion ,j'ai pu atteindre le résultat avec deux façon :
grâce a : a+b/2 >= racine(ab)

et la deuxieme :

{(1/a) - (1/b) }²>= 0
donc (1/a²) + ( 1/b² ) >= 2/ab
et pour les autres variable :

(1/a²) + ( 1/c² ) >= 2/ac
donc (1/c²) + ( 1/b² ) >= 2/bc
et j'arrive a la conclusion après addition des inégalité ( les trois ) , au résultat voulu

Le probleme , J'ai essayer de le faire avec a² + b² >= 2ab

Le résultat est tout autre :

( ab / c ) + ( bc / a ) + ( ac / b ) >= (1/a) + (1/b) + (1/c)



Est il possible , de la rendre : ( ab / c ) + ( bc / a ) + ( ac / b ) >= a + b + c ??

Si oui , merci de m'aider ! :hein:

Oui, mais vous vous tromppez en écrivant

Le probleme , J'ai essayer de le faire avec a² + b² >= 2ab

Le résultat est tout autre :

( ab / c ) + ( bc / a ) + ( ac / b ) >= (1/a) + (1/b) + (1/c)

Le résultat est
a/bc+b/ca+c/ab>=1/a+1/b+1/c
a,b,c étant des nombres quelconques, il suffit d'appeler a le nombre 1/a, b le nombre 1/b et c le nombe 1/c pour retrouver ( ab / c ) + ( bc / a ) + ( ac / b ) >= a + b + c

Les deux résultats sont donc équivalents.