Impossible ??

[pierrelouisbourgeois]

Bonjour, est-il possible de démontrer une égalité vectorielle sans aucune informations, en utilisant la relation de Chasles ?

Par exemple, je dois démontrer que AM = 2/3 AA'. On est dans un triangle ABC avec A' B' et C' milieu des différents cotés. On nous donne l'égalité suivante : MA + MB +MC = 0

Ici, je voulais savoir si, juste en partant de AM (AM = ... + ... = etc), sans utiliser "MA + MB +MC = 0", on pouvait prouver que AM = 2/3 AA'. Cela fait bien 25 minutes que je tourne autour mais cela me parait compliqué... Qu'en pensez-vous? Est-ce réalisable ? Merci.

Bien entendu, ce sont des vecteurs mais je n'ai pas réussi à mettre la flèche.

[mathelot]

non, ce n'est pas possible. Si tu utilises uniquement la relation de Chasles, tu ne démontreras que des tautologies,i.e, que des identités, par exemple, à partir de Chasles , on a



si tu souhaites démontrer une égalité particulière, il faut absolument utiliser les hypothèses de l'énoncé.

[pierrelouisbourgeois]

Je ne comprends pas bien, ici, il m'est impossible de démontrer l'égalité "AM = 2/3 AA'", mais à partir de AM je ne peux écrire que des sortes de "vérités" du style AM = AA' + A'M. Comment faire la différence entre une égalité particulière et des "tautologies" ?

[mathelot]

Je ne comprends pas bien, ici, il m'est impossible de démontrer l'égalité "AM = 2/3 AA'", en utilisant uniquement la relation de Chasles, mais à partir de AM je ne peux écrire que des sortes de "vérités" du style AM = AA' + A'M. Comment faire la différence entre une égalité particulière et des "tautologies" ?

par exemple pour prouver l'égalité on fait l'hypothèse (et on l'utilise dans la démonstration) que M est le centre de gravité du triangle ABC


par contre est une identité déduite de la relation de Chasles sans autre hypothèse.

[chan79]

correction faite

[mathelot]

@chan: erratum: M est le milieu de [AM']

[mathelot]

Comment faire la différence entre une égalité particulière et des "tautologies" ?

les tautologies sont déduites des axiomes des espaces affines E:
- formule de Chasles
- est un espace vectoriel (E pointé avec une origine)

les autres égalités, nommées ici "particulières", proviennent d'hypothèses locales à un énoncé d'exercice.