Imaginaire pur positif ( complexe )

[warsoling]

Bonjour à tous , j'ai une question en rapport au complexe. Quand on nous donne la forme algébrique d'un complexe , admettons z=-1+i et que l'on doit démontrer que z^10 est un imaginaire pure positif , peut on simplement calculer l'argument de z^10 ou, arg (z^10) dans ce cas =Pi/2 et dire que cette argument correspond a un imaginaire pure positif vu sa position sur le cercle trigonométrique ?
Ou bien faut il aussi calculer le module lzl^10 et ainsi grâce à la formule z=r(cos + isin ) obtenir la forme algébrique et donc et montrer que l'on a que des "i" et donc que c'est un imaginaire pur positif ?


Je veux savoir si je peux me contenter de l'arg pour gagner du temps au bac dans ce type de question ou bien si il faut vraiment aller jusqu’à trouver la forme algébrique ?

Merci

[mathelot]

le seul écueil, c'est d'être modulo et non pas modulo

[annick]

Bonjour,

on peut passer assez rapidement par la forme exponentielle :

z=-1+i=V2(-V2/2+iV2/2)=V2 e^(i3pi/4)

z^10=(V2)^10 e^(i30pi/4)=(V2)^10 e^(i15pi/2)

L'argument est 15pi/2=-pi/2 donc le complexe est purement imaginaire.

Mais ton calcul du seul argument suffit à prouver qu'il s'agit bien d'un imaginaire pur, puisque c'est un multiple de pi/2.

[Pseuda]

Tu peux te contenter de l'argument, en remarquant que z est différent de 0. Comme tu as déterminé que arg z = pi / 2, cela veut dire que l'image de z est sur l'axe des ordonnées, donc que z est un imaginaire pur.

[Ben314]

Salut,
Si au bac tu parle "d'imaginaires purs positifs", tu risque de salement te faire allumer vu que ça ne veut rien dire : il n'y a pas de relation d'ordre (compatible) sur C donc un imaginaire pur (autre que 0 qui est aussi réel) ne peut pas être positif.
Dit autrement, si z est un imaginaire pur, il s'écrit z=yi avec y réel et tu peut te demander si la partie imaginaire de z, c'est à dire y qui est réel est positive ou pas, mais ça n'as pas de sens de dire que z est positif ou négatif.

[warsoling]

Oui d'accord je comprends merci à tous donc l'argument suffit pour dire que c'est un imaginaire mais si on doit trouver son signe , l'argument suffit il aussi ou bien faut il aller à la forme algébrique pour déterminer le signe ?
Car si il a un argument de pi/2 cela signifie qu'il se situe sur la partie "positive" de l'axe des ordonnées non ?
Sinon si par exemeple il avait un argument de 3pi/2 il serait sur la partie négative de l'axe des ordonnées non ?
Merci de m'éclairer je galère avec la trigonométrie , disons que ça n'est pas limpide dans ma tête !
Oui merci Ben j’éviterais de dire ça au bac alors x)

[mathelot]

Car si il a un argument de pi/2 cela signifie qu'il se situe sur la partie "positive" de l'axe des ordonnées, non ?

oui.

Sinon si par exemple il avait un argument de 3pi/2 il serait sur la partie négative de l'axe des ordonnées, non ?

oui.

(si l'on calcule modulo )

[warsoling]

Merci Mathelot , et comment puis je rédiger ça en devoir ou au bac par exemple car je ne peux pas dire " la partie positive de l'axe des ordonnées " , n'y a t'il pas un terme ou une tournure de phrase pour parler de la partie positive et la partie négative d'un axe ?

[mathelot]

soit



donc z est l'affixe d'un point situé sur l'axe y'Oy, affixe de partie imaginaire strictement négative.

[zygomatique]

salut



....

:zen:

[Ben314]

Merci Mathelot , et comment puis je rédiger ça en devoir ou au bac par exemple car je ne peux pas dire " la partie positive de l'axe des ordonnées " , n'y a t'il pas un terme ou une tournure de phrase pour parler de la partie positive et la partie négative d'un axe ?

La "tournure de phrase", ça consiste déjà à parler de "demi-droite" et à parler du signe de la partie réelle ou de la partie imaginaire (qui sont tout les deux des réels) de z et pas du signe de z (qui n'est pas un réel).

Par exemple ici, vu qu'un argument de z est -pi/2, c'est que avec réel strictement positif et, comme , c'est que avec et tu peut dire que :
- Le complexe z est un imaginaire pur de partie imaginaire strictement négative.
- Le complexe z est sur la demi droite d'origine 0 dirigée par -i.
- Le point M d'affixe z est sur l'axe des y et son ordonnée est strictement négative (exactement pour les même raison, il est évidement proscrit de dire que M est "négatif")