Problème de géométrie pur... Dur dur...

[pianiste06]

Bonjour,

Je coince sur un exo vraiment costaud de géométrie pure. Si quelqu'un a une idée, elle est vraiment bienvenue. Voici une partie de l'énoncé.

Soit ABCD un tétraèdre tel que (AB) soit orthogonal à (CD) et (AC) orthogonale à (BD).
1)Soit P, Q et R les plans passant par A et perpendiculaires respectivement à (CD), à (BD) et à (BC).
Montrer que les intersections de P et Q avec le plan (BCD) sont des hauteurs du triangle BCD et que le projeté orthogonal A' de A sur le plan (BCD) est l'orthocentre du triangle BCD.
2)En déduire que le plan R contient D, et que (AD) est orthogonal à (BC).

D'avance merci beaucoup

[Blueberry]

Bonsoir,

1) Si P passe par A et perp à (CD) alors P contient (AB) (car (AB) orth (CD))
P coupe donc (BCD) suivant une droite qui passe par B et perpendiculaire à (CD) donc P coupe (BCD) suivant la hauteur issue de B.
Idem pour l'autre hauteur.

Après calculons AH.BD = (AC+CH).BD = AC.BD + CH.BD = 0 + 0 = 0
De même AH.CD = 0

D'où (AH) perp (BCD) donc H est le projeté orth de A sur ce plan.

2) (BC) perp R et (BC) orth (AH) donc (AH) est dans R donc R coupe (BCD) suivant une droite passant par H et perp à (BC) donc cette droite est (DH) et le plan contient D.
(BC) est perp à un plan contenant (AD) donc (BC) orth (AD)

[pianiste06]

Merci beaucoup pour votre aide,

C'est très sympa à vous de m'aider.
Avez vous aussi une idée pour la suite du problème que je trouve vraiment délicat?

3) Soit B’ le projeté orthogonal de B sur le plan (ACD) et I le point d’intersection de P et (CD).
Montrer que les droites (AA’) et (BB’) passent par l’orthocentre H du triangle ABI, et qu’une des hauteurs de ce triangle est la perpendiculaire commune à (AB) et (CD).
4) Soit J le pied de la hauteur précédente.
Montrer que le plan (CDJ) est perpendiculaire à (AB) et en déduire que H est sur les perpendiculaires en C à (ABD) et en D à (ABC), en utilisant les plans Q et R respectivement.
5) Quelles sont les 7 droites remarquables passant par H ?

Un gros merci à vous.

[Blueberry]

On a vu que P contient (AB) et il contient I donc ABI est dans P. La hauteur issue de B dans ABI est perpendiculaire à (AI) et orth à (CD) puisque c'est une droite de P. Donc c'est la droite (BB')
Quand à (BI) elle passe par A' car elle est la hauteur issue de B dans BCD et que A' est l'orthocentre de ce triangle. (AA') est nécessairement perp à (BI) puisque (AA') est perp au plan (BCD).
D'où (AA') est la hauteur issue de A dans ABI

La dernière hauteur de ABI est issue de I, elle est perp à (AB) par définition et comme droite du plan P elle coupe (CD) en I perpendiculairement. C'est donc la perpendiculaire commune aux deux droites (CD) et (AB).

CDJ est perp à (AB) car (AB) est perp à (IJ) et orth à (CD) toutes deux droites de ce plan.
L'intersection de Q avec (BCD) est la hauteur issue de C ds le triangle BCD donc (CH) perp à (BD) . Par contre je ne trouve pas d'autre droite à laquelle (CH) serait orthogonal dans le plan (ABD).