Identités remarquables

[betty_boop]

Bonjour ,
certaines égalités à démontrer me posent problème...
a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b) = - (a+b+c) (b-c) (c-a) (a-b)

J'ai développé "-(a+b+c) (b-c) (c-a) (a-b)"
cad que j'ai multiplié d'une part "-(a+b+c) (b-c)" d'une part, puis "(c-a)(a-b)" d'autre part. et après j'ai multiplié tout ça ensemble et j'ai obtenu
"- (c^3 (a+b) + a^3 (-b+c) + b^3 (-c+a))"
Donc si j'enlève la paranthèse ça ne donne pas le membre de droite de l'égalité donc mon calcul est faux. Je ne sais pas si j'ai fait une erreur mais le developpement du membre gauche (par ma méthode) m'a parut un peu ... peu méthodique. Je me demande si c'est la bonne méthode et s'il n'y a pas mieux. Quelque chose de plus "ingénieux".


Ensuite , j'ai eu du mal avec "a^3(b^2-c^2)+b^3(c^2-a^2)+c^3(a^2-b^2)= - (bc+ca+ab) (b-c) (c-a) (a-b)

J'aimerais bien voir la méthode de résolution de (A à Z si possible...pitié V_V) cette égalité afin que je comprenne mieux et que je puisse poursuivre avec les autres égalités que je n'ai toujours pas réussi à résoudre ^^.

Merci

[olivthill]

En développant la partie droite de l'équation, j'obtiens

- (a+b+c) (b-c) (c-a) (a-b)
= - (ab - ac + bb - bc + cb - cc) (c-a) (a-b)
= - (ab - ac + bb - cc) (c-a) (a-b)
= - (abc - aba - acc + aca + bbc - bba - ccc + cca) (a-b)
= - (abca - abcb - abaa + abab - acca + accb + acaa - acab + bbca - bbcb - bbaa + bbab - ccca + cccb + ccaa - ccab)
= - (aabc - abbc - aaab + aabb - aacc + abcc + aaac - aabc + abbc - bbbc - aabb + abbb - accc + bccc + aacc - abcc)
= - (-aaab + aaac - bbbc + abbb - accc + bccc + aabb - aabb + aabc - aabc - aacc + aacc - abbc + abbc + abcc - abcc)
= a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)