Homothéties et composition 1ère S

[Oceane56]

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour un exo d'initiation à la composition d'homothéties.

1) A et B sont 2 points distincts, on considère l'homothétie h1 de centre A et de rapport -1/2 et l'homothétie h2 de centre B et rapport 2.
A tout point M, on associe M'=h1(M) puis le point M"=h2(M')

a) Traduire vectoriellement les définitions des points M' et M" :

J'ai fait :

AM'=-1/2 AM ( vecteurs )
BM"= 2 BM' = 2BA+2AM' ( vecteurs )

b) démontrer que : BM''= -AM + 2 BA (vecteur)

BM''= 2BA+2AM' = 2BA + 2(-1/2 AM)=2BA - AM ( vecteurs )

c) prouver qu'il existe un point M unique tel que M" = M. On note omega ce point.

Je suis pas trop sûre pour cette question :

Si M"=M : BM= -AM+ 2 BA
BM= MA + 2 BA
BM= MB+BA+2BA
2BM=3BA
BM=3/ 2 BA (vecteurs )
Il n'existe qu'un point M tel que A,B,M soient alignés, qui vérifie cette relation.

d) démontrer que omega est le barycentre des pts pondérés (A;3) et (B;-1)
Soit G barycentre de (A;3) et (B;-1).

3GA= GB
3GB+3BA=GB
3BA=2BG
BG=3/2BA ( vecteurs )

Donc G= oméga, oméga est bien barycentre de (A;3) et (B;-1)


e) démontrer que omegaM'' = -omegaM (vecteurs). Quelle est la transformation qui au point M associe le point M'.

Je suis bloquée là, je comprend pas pourquoi on nous demande ça alors qu'oméga est un point M tel que M=M"

2. Dans le plan, ABC est un triangle, I, J, K sont les mileux respectifs des cotés [BC], [AC], [AB] et G est le centre de gravité du triangle ABC.
Pour chaque point M, on note P, Q et R le symetrique de M par rapport aux points I, J, et K.
On se propose de démontrer que les segments [AP], [BQ], [CR] ont le même milieu noté O et que les points M, G et O sont alignés.

a) démontrer qu'il existe une homothétie h1 qui transforme A en I, Ben J, et C en K. Determiner son rapport.

Je vous passe toute la démonstration, je trouve une homothétie de centre G et de rapport -1/2

b) déterminer l'homothétie h2, qui transforme I en P, J en Q, et K en R. Determiner son centre et son rapport .

Pareil, je trouve une homothétie de centre M et de rapport 2.

c) a l'aide de la question 1. trouver la transformation qui associe respectivement aux points A, B, C les points P, Q, R. Conclure.

Bloquée aussi, déjà parce que je n'ai pas terminé la question 1 et parce que je ne vois pas quelle question peut servir ici.

Je vous remercie, désolée que ça soit aussi long.

[prody-G]

Salut

Tes réponses 1)a, b, c et d sont (a priori lol) bonnes.
Pour la question e, il faut te visualiser que M est un point variable alors que est fixe, là on te demande de démontrer que quelquesoit le point M du plan :
soit :
Or
=>
Et
=>
=>
=> (1)
Or est barycentre des points A(3) et B(-1) donc

=>
=>
En reportant cette expression dans la relation vectorielle (1) on obtient bien


^^