Help!!!!! dm equations bicarré

[noooora]

résoudre dans R les équations suivantes







Voilà la première partie de mon dm..
. au quel j'ai eu 2....svp aidez moi!!!!!! je passe le bac de français très bientôt mais je ne suis pas française et j avoue que je doit réviser 10 mil fois plus qu'un natif français....j'ai mon plan de révision pour ce week mais voilà c'est déjà gâché car ça fait 4H que je suis de nouveau sur ce ds.... donc aidez moiii svp grazie

[samoufar]

Bonsoir,

Toutes les équations bicarrées se résolvent de manière identique, à savoir en posant une nouvelle variable . Tu te ramènes ainsi à des équations polynomiales du second degré qui sont alors simples à résoudre.

Exemple : L'équation devient .

[Pisigma]

Bonsoir,

tu peux procéder de deux façons:

1°) en posant tu obtiens une équation du second degré en x.
Connaissant les valeurs de x, tu peux en tirer les valeurs de

2°) en factorisant, par exemple pour la 3ème, peut s'écrire:

expression à factoriser d'où les valeurs de

[noooora]

merci..mais voilà 1H30 plus tard tjrs pas reussi....d'autres propositions???

[Pisigma]

Sorry le développement correspond à la 1ère équation

1ère méthode l'équation de mon post peut s'écrire ....

2ème méthode

....

[samoufar]

Normalement si tu sais résoudre des équations du second degré les équations bicarré ne devraient pas poser problème.

Méthode (qui marche tout le temps)
Regardons par exemple l'équation .

Notons . Alors vérifie l'équation
.

Le discriminant associé à cette équation vaut .

On en déduit les solutions possibles de :
et .
Comme de plus (c'est un carré par définition) , on a forcément .

Par conséquent on en déduit les solutions possibles de
et .

On vérifie ensuite (c'est immédiat) que ces deux solutions fonctionnent, et c'est bon, on peut écrire :

Les solutions de l'équation sont et .

A toi de jouer maintenant

[Pisigma]

Bonjour,

@samoufar : il est clair que la méthode avec recherche des racines "marche" toujours tandis que celle qui passe par la factorisation est parfois moins évidente; mais je voulais donner toutes les méthodes de résolution à noooora

[noooora]

merci à tous, je prend en compte ce que chacun m'a dit,je me suis réveillé tôt exprès pour essayer de nouveau!!! :p

[samoufar]

Bonjour,

@Pisigma : Il existe évidemment de nombreuses méthodes de résolution d'un même problème (certaines étant parfois plus compliquées ou plus simples que d'autres); c'est d'ailleurs ce qui fait le charme des mathématiques

[noooora]

J'adore les maths!!!mais ne pas avoir fait de seconde et avoir arrêté les cours normaux pour apprendre le français....ne m'a pas aidé...XD en tout cas moi je trouve



??? je garde le résultat???

[samoufar]

Je suppose qu'il s'agit de la première équation . Néanmoins il faut faire attention à deux choses :

• D'abord, la racine d'un nombre négatif n'est pas définie (attention au ). Je suppose que tu insinuais (qui, au passage, vaut aussi ), fais-y attention;
  
• Ensuite, et ne fonctionnent pas (remplaces dans ton équation, tu verras que ça ne marche pas ). Si tu as posé , et alors (cf. mon post au-dessus) donc il y a une des solutions de l'équation du second degré qui ne marche pas car elle est négative.
  
  D'ailleurs si tu regardes la méthode de @Pisigma, tu remarques qu'on a un facteur qui n'admet pas de racines (réelles du moins).

Au passage,

J'adore les maths!!!

je me suis réveillé tôt exprès pour essayer de nouveau!!! :p

C'est une très bonne chose se donner à fond pour ce que l'on aime

mais ne pas avoir fait de seconde et avoir arrêté les cours normaux pour apprendre le français....ne m'a pas aidé...XD

Du coup, est-ce que tu as vu comment résoudre des équations du second degré ? (je suppose que oui, puisque tes solutions semblent provenir de cette résolution ).

Conclusion : Lorsque tu trouves des solutions, vérifies toujours qu'elles fonctionnent en remplaçant dans ton équation. D'ailleurs parfois tu peux trouver des solutions qui ne fonctionnent pas alors que tout le raisonnement est correct (on parle alors de "condition nécessaire mais insuffisante).

[noooora]

je fais double programme...ce qui m'embrouille un peut car je suis en autonomie XD.... et oui j'ai mal écrit je voulait dire -racine du coup dans l’équation n°2 je ne trouve pas de solution car les deux sont négatives ??

[samoufar]

L'équation devient (en posant ) :
.

Son discriminant vaut . Par conséquent ses solutions possibles sont et . Comme on en déduit que .

Il y a donc une solution positive à l'équation .

[samoufar]

Et juste au cas où, un petit récapitulatif

Résolution d'une équation polynomiale du second degré (dans ou )

On considère l'équation .

Le discriminant associé à cette équation vaut .

• Si , alors les solutions de sont et ;
  
  
• Si , alors l'unique solution de est ;
  
  
• Si , alors n'admet pas de solutions réelles. Néanmoins les solutions complexes de sont et .

Du coup, on en déduit une méthode de résolution des équations bicarrées :

Résolution des équations bicarrées (dans )

On considère l'équation .

On pose alors pour se ramener à l'équation .

On résout cette équation à l'aide de la méthode précédente, et on garde les solutions réelles positives (du moins lorsqu'on travaille dans – dans , c'est une toute autre histoire), que l'on note et (par exemple, ou si on a une seule solution positive).

Alors les solutions de sont , , et (encore une fois on peut n'avoir que 2 solutions, voire même 0 solutions).

Remarque 1 : Si on trouve un nombre impair de solutions alors on a fait une erreur (il est facile de montrer que si est solution de , alors est aussi solution de ).

Remarque 2 : Si on trouve un nombre de solutions , alors on s'est trompé (un polynôme non nul ne peut pas avoir plus de racines que son degré).

Remarque 3 : Ceci constitue une méthode générale de résolution des équations du second degré et des équations bicarrées. Il va de soi que certains cas particuliers se résolvent de manière plus simple (ex : ou encore ).

[zygomatique]

salut

Remarque 3 : Ceci constitue une méthode générale de résolution des équations du second degré et des équations bicarrées.

oui et non ::


principe générale pour résoudre une équation ou une inéquation ::

1/ tout mettre dans un membre et simplifier

2/ factoriser (le point le plus dur : voir plus bas)

3/ retourner au collège !!!
ou encore ::

appliquer la règle du produit nul pour les équations
appliquer la règle des signes pour une inéquation (avec éventuellement un tableau de signe qui est un moyen simple de représenter la résolution et l'application de cette règle)


maintenant il y a évidemment quelques exceptions :

le premier degré
le second degré (ou samouphar donne une méthode générale : le discriminant mais une autre méthode générale est la forme canonique ... quand on connaît ses identités remarquables)
le troisième et le quatrième degré ... qui possède aussi des recettes
les (in)équations du type f(x) = f(y) ou (fx) < f(y) où f est bijective (exemple classique en terminale epx(2x + 3) < exp (4x - 5) ou ln (x^2 + x + 1) = -5 ....)

autres cas particuliers :

le changement de variable pour les équations du type bicarrées (recette la plus utilisée au lycée en générale)

derniers cas particuliers :

les cas triviaux : EX : x² + 1 = 0 ou x^4 - 1 = 0



dans le cas présent : (en ayant toujours en tête de factoriser et la forme canonique, connaissant bien les identités remarquables)

pisygma a donné une astuce pour factoriser ::



donc et on retourne au collège (règle du produit nul)

PS : pourquoi mets-je x² + 1 à la poubelle ?

ou encore : avec la même idée de pisygma ....


factorisation par la forme canonique :

en reconnaissant

REM : je multiplie par 2 pour avoir un carré parfait "simple" (avec des entiers)



à nouveau on reconnaît x² - y² ....

[samoufar]

Salut,

Il va de soi que la méthode que je propose n'est en aucun cas une manière d'aborder toute équation (ça serait trop simple sinon ); son but étant uniquement la résolution d'équations polynomiales du second degré et des équations bicarrées. De plus, elle est encore moins l'unique méthode pour y parvenir (cette approche du problème sous divers angles est d'ailleurs l'une des choses qui font le charme des mathématiques); c'est pourquoi j'ai bien parlé d'une méthode et non de la méthode .

Aussi, les astuces, bien que faisant souvent preuve d'une grande ingéniosité et de lucidité de la part du mathématicien, ne sont pas toujours bien vues lorsqu'il existe des méthodes de résolution (sinon pourquoi certains se casseraient-ils la tête pour les développer ). D'ailleurs, comme disait un professeur que j'ai connu à chaque fois que j'utilisais une astuce de calcul : "Ton truc marche bien, là. Allez, remplace maintenant le par un et recommence".

Par ailleurs @zygomatique propose une méthode qui est un point commun à toutes les équations polynomiales (ou non d'ailleurs), c'est encore mieux

[noooora]

"3/ retourner au collège !!! " sache que je n'ai pas fait la 3eme...j'ai un parcours scolaire particulier, maintenant je suis dans une école expérimentale en isere et jusqu’à présent pour moi tout va bien à part redoubler d'efforts là ou ce n'est pas tout suite évidant..ceci dit j'aurais certainement mon bac!! ...merci samoufar, j'ai envoyé par mail cette partie du dm à ma prof en essayent de me corriger. Donc j'attend plus qu'elle!!!

[zygomatique]

"3/ retourner au collège !!! " sache que je n'ai pas fait la 3eme

et comment puis-je le savoir ....

de toute façon quand je dis cela, ça signifie simplement utiliser des résultats de collège ...

et je retourne régulièrement au collège sans aucune honte ... quand par exemple je dois résoudre l'équation x + 1 = 2 ....

[noooora]

Pas grave je suis habituée à ce genre de remarques..en dehors des mures de mon lycée XD on est une annexe d'un lycée normal et on est pas vraiment aimées :p bon en tout cas comme j'expliquai plus haut je cherche tjrs dans les programmes des années précédentes ^_^

[zygomatique]

et bien c'est très bien ... ne jamais oublier de revenir en arrière et revoir les fondamentaux !!


quant aux remarques des autres t'en a rien à péter ... l'important c'est que tu avances ... en sachant revenir en arrière parfois