Géométrie - Vecteurs

[DjKevV]

Bonjour,
J'ai un DM et je suis bloqué, j'aimerais votre aide ..
Je vous pose le sujet :

On considère un triangle ABC et on apelle A', B' et C' les milieux respectifs [BC], [AC] et [AB]. Le point O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. On feras un figure que l'on complètera au fur et à mesure.

1. Construire le point H tel que : (vecteurs) OH = OA + OB + OC
- J'ai fais la figure ainsi que placé ce point.

a) Démontrer que AH=2OA'
- J'ai réussi : AH = AO + OH
AH = AO + OA + OB + OC
AH = AA + OB + OC
AH = OB + OC
AH = OA' + A'B + OA' + A'C
AH = 2OA' + A'B + A'C
(A'B et A'C étant de vecteurs contraire, A'B + A'C = 0)
Donc AH = 2OA'

* Reprenez moi si je me trompe !

En déduire que H est un point de la hauteurs du triangle ABC issue de A.
- Colinéarité + propriété droite perpendiculaire j'y suis arrivé.

Mais je suis bloqué au b)
Montrer que H est l'orthocentre du triangle ABC ?
- Je pense qu'il faut trouver une autre hauteur mais je ne vois pas commment.

Voilà, si vous pourriez m'aider !?
Merci

[yvelines78]

bonjour,

tu fais la même chose que tu viens de faire avec
vecBH=vec BO+vecOH
remplace vecOH
vecBH=vecOA+vecOC
vecBH=vecOB'+vecB'A+......
vecBH=2vecOB'
H est situé sur (AH) et sur (BH)---->orthocentre

[DjKevV]

Merci beaucoup pour ta réponse, rapide en + !!
Mercii je vais pouvoir avancer

[DjKevV]

Je suis de nouveau bloqué ..

Soit G le centre de gravité du triangle ABC
Démontrer que (vecteurs) GA + GB + GC = 0

Si vous pourriez m'aider s'il vous plait !? les démonstrations c'est pas mon fort !

:help:

[DjKevV]

Personne pour m'aider ? :(

:help:

[yvelines78]

vecGA+vecGB+vecGC=?
vecGA+vecGB=vecGC'+vecC'A+vecGC'+vecC'B=2vecGC'
car vecC'A+vecC'B=vec0
vecGA+vecGB+vecGC=2vecGC'+vecGC
or vecGC=2vecC'G
2vecGC'+vecGC=2vecGC'+2vecC'G=vec0

[DjKevV]

vecGA+vecGB+vecGC=?
vecGA+vecGB=vecGC'+vecC'A+vecGC'+vecC'B=2vecGC'
car vecC'A+vecC'B=vec0
vecGA+vecGB+vecGC=2vecGC'+vecGC
or vecGC=2vecC'G
2vecGC'+vecGC=2vecGC'+2vecC'G=vec0

Merci pour ta réponse !!
Comment je justifie que GC = 2C'G
C'est le fait que le centre de gravité soit situé au 2tiers de la médiane ?

Encore merci !

[yvelines78]

oui, c'est cela

[DjKevV]

D'accord merci !!

il ne reste plus qu'une chose ou je vais avoir du mal !

C'est de démontrer que OH = 3 OG !? (encore une demonstration :hein: )

Le reste je pense y arriver ! :we:

:help:

[yvelines78]

vecOH=vecOA+vecOb+vecOC
=vecOG+vecGA+vecOG+vecGB+vecOG+vecGC
=3 vecOG+vecGA+vecGB+vecGC
or vecGA+vecGB+vecGC=vec0
vecOH=3 vecOG

le principe est toujours le même , en utilisant la relation de Chasles, faire apparaître le vecteur souhaité

[DjKevV]

vecOH=vecOA+vecOb+vecOC
=vecOG+vecGA+vecOG+vecGB+vecOG+vecGC
=3 vecOG+vecGA+vecGB+vecGC
or vecGA+vecGB+vecGC=vec0
vecOH=3 vecOG

le principe est toujours le même , en utilisant la relation de Chasles, faire apparaître le vecteur souhaité

Ah oui .. il va falloir que je m'entraine car j'ai toujours du mal a voir !!

En attendant je te remercie beaucoup !! :++: