Géométrie - vecteurs

[ansesolo]

Bonjour à tous,

j'ai un exercice de géométrie et je bloque sur une question.

L'énoncé : Soit A, B, C un triangle quelconque.
Soit vec(AJ) = 2/3 vec(AB) et vec(AK) = 1/3 vec(AC).
Soit M le point d'intersection de (JK) et (BC).

La question est : Démontrer que J et le milieu de [MK]

J'ai essayé de partir de la loi des milieux, de chasles pour faire une démonstration par l'absurde mais je tourne en rond.

Merci pour votre aide.

[Pseuda]

Bonjour,

Appelle N le symétrique de K par rapport à J. Il s'agit de montrer que N=M, c'est-à-dire que N (BC).

(en vecteurs) : NJ = JK = AK - AJ = .... et NJ = NB + BJ, donc NB = AK - AJ - BJ = ... (remplace par leurs définitions). Il faut éliminer A, K et J, pour aboutir à une relation vectorielle où n'interviennent que N, B et C.

[ansesolo]

Super merci,

c'est le point de départ qui me manquait.

[chan79]

salut
On peut y arriver aussi en plaçant le milieu I de [AJ].
Montre avec Thalès que (IK) //(BC) et que JI=JB
Puis Thalès:
JK/JM= ....

[Pseuda]

salut
On peut y arriver aussi en plaçant le milieu I de [AJ].
Montre avec Thalès que (IK) //(BC) et que JI=JB
Puis Thalès:
JK/JM= ....

Bonjour,

Il faut le retrancrire en vecteurs, pour coller au programme du lycée.

Sinon, on peut aussi utiliser les barycentres (qui ont disparu des programmes du lycée).

J est le barycentre de (A ; 1) et (B ; 2) car , donc de (A ; -2) et (B ; -4)
K est le barycentre de (A ; 2) et (C ; 1) car .....

Donc le barycentre de (J ; -2) et (K ; 1) est aussi celui de (B ; -4) et (C ; 1) : (KJ) et (BC) se coupent en M tel que J est le milieu de [MK].

[Ben314]

Sauf erreur, c'est plus du tout du programme du Lycée les Barycentres.
Ce qui se comprend vu que les vecteurs ont été virés de 4em, puis du collège et que la façon dont ils sont présentés au Lycée sans la moindre notion de quotient et que de l'analytique "bête et méchant" les rend (quasiment) inutilisables et, globalement les élèves y comprennent que dalle : à mon avis, y'en a pas un term S sur 10 pour te donner ne serait-ce qu'un début de vague réponse cohérente à la question "c'est quoi un vecteur ?".

Sinon, officiellement c'est passé au programme de première année, en tout cas en M.P. et encore, c'est bien précisé "uniquement en vue de l'application aux fonctions convexe" : surtout pas de théorie...

Perso, ça m'a quand même pas mal marqué, il y a deux ans (il me semble) lorsque l'on s'est retrouvé avec des prépa Capes pour qui la notion d'associativité des barycentre, c'était (quasi) nouveau est considéré par les futur prof. comme "super dur" : y'a pas si longtemps que ça, c'était du programme de quatrième (évidement sans parler du fait qu'on l'utilisait en physique dés la seconde...)

[chan79]

Quand on enseignait autrefois qu'un vecteur était une classe d'équivalence de bipoints équipollents, on était à côté de la plaque ...
L'approche par direction, longueur et sens qui est arrivée par la suite était mieux...

[Pseuda]

Ce n'est pas une erreur, et je l'ai bien précisé dans mon message.

C'est bien dommage, cela en faisait un outil très puissant pour démontrer ce genre de résultat.

Gardons espoir, cela devrait revenir, les transformations reviennent au collège..., où on a viré le 1er et le dernier quartile des statistiques.

[chan79]

Gardons espoir, cela devrait revenir, les transformations reviennent au collège..., où on a viré le 1er et le dernier quartile des statistiques.

Eh oui, les changements de programme, c'est aussi pour sortir les profs de la routine !

[Ben314]

L'approche par direction, longueur et sens qui est arrivée par la suite était mieux...

Si on prend le terme "mieux" dans le sens "ils comprennent mieux aujourd'hui qu'avant", j'aurais tendance à avoir de très très très gros doutes...
Par contre si on le prend au sens "personnellement, je préfère cette approche là", alors je ne vois rien à redire sinon que cela ne peut évidement être, comme tout opinion, qu'une opinion personnelle (avec laquelle je suis d'ailleurs plus ou moins d'accord).

[chan79]

Evidemment que c'est une opinion personnelle, chacun pense ce qu'il veut !

[Dasson2]

Une autre façon.
Dans le repère (A; B; C)
l'équation réduite de (BC) est y=-x+1
l'équation réduite de (JK) est y=-x/2+1/3
Les coordonnées de M sont donc (4/3; -1/3)
Le milieu de [KM] a donc pour coordonnées (2/3; 0) : c'est J.
@Chan79
"Quand on enseignait autrefois qu'un vecteur était une classe d'équivalence de bipoints équipollents, on était à côté de la plaque ...
L'approche par direction, longueur et sens qui est arrivée par la suite était mieux..."
Par la suite et avant ! (j'ai enseigné avec des "Lebossé et Hémery") !
En géométrie dynamique, les deux approches ne sont pas incompatibles (sans parler de relation d'équivalence).
De même que la définition d'un entier relatif par classe d'équivalence de couples de naturels, considérée comme trop "abstrait" par les temps qui courent, passait plutôt bien...