Géométrie du triangle

[mathelot]

bonjour,

Dans un triangle ABC,on appelle I,J,K les pieds des hauteurs issues
respectivement de A,B,C. Les hauteurs du triangle ABC sont-elles
bissectrices du triangle orthique IJK et je ne vois pas comment le démontrer.

merçi pour votre aide.

[rene38]

Bonjour

Soit H l'orthocentre de ABC.

Dans le triangle ABJ,
Dans le triangle ACK,
donc (**)
Les quadrilatères convexes BIHK et CIHJ ont 2 angles opposés droits :
ils sont inscriptibles.
Les quadrilatères croisés BHIK et CHIJ, inscriptibles, ont leurs angles opposés égaux, en particulier :



on conclut que
et donc
la hauteur (AI) de ABC est bissectrice de IJK.

Quelques adaptations nécessaires si ABC a un angle obtus (orthocentre extérieur au triangle)

[mathelot]

merçi bien. je vais regarder si l'on peut faire une seconde démonstration
à l'aide des similitudes.