[TleS] Fonctions

[Anonyme]

Bonjour,

Je planche depuis quelque temps sur
un exercice sur les fonctions
dont voici l'énoncé :

"Étant donné un entier positif n fixé, on définit la fonction fn par :
fn(x) = x - n*V(x) [où V symbolise la racine carré].
On notera Cn la courbe représentative de la fonction fn.

1) Reconnaître Cn pour n=0
2) Étudier la dérivabilité de fn en 0 et interpréter les résultat.
3) Démontrer que Cn est au-dessus de Cn' dès que n > n'
4) Dresser le tableau de variation de fn. On montrera que fn admet un minimum relatif que l'on notera an
5) On note An le point de Cn d'abscisse an. Prouver que tous les points an sont alignés.
6) Montrer que Cn coupe l'axe des abscisses en deux points, O et un point Bn dont on précisera l'abscisse, notée bn. Vérifier que bn = 4an
7) Montrer que la tangente à Cn en Bn garde une direction fixe indépendante de Bn."

J'ai tenté de répondre à certaines questions,
mais je planche définitivement :

1) On obtient une droite qui passe par l'origine.
2) On fait (f(x) - f(0))/(x-0)
Ce qui donne (x - n*V(x))/x
Quand x tend vers 0, f(x) est impossible,
donc il y a une tangente verticale en x = 0
3) Il me semble que l'énoncé est faux, mais je n'ai aucune certitude.
À partir de la question 4), je n'arrive plus à rien,
je ne vois pas du tout comment articuler la réflexion pour parvenir
au résultat attendu.

Merci d'avance à ceux qui voudront bien m'aider ...

[hellow3]

2. TY'as fait une erreur dans le calcul de ta limite

(x - n*V(x))/x = 1 - n* V(x)/x

[Anonyme]

Euh ... Je ne suis pas sûr de bien comprendre
où est l'erreur :
(x - n*V(x))/x = 1 - n* V(x)/x
Certes, mais reste que diviser par 0 est impossible ...
Donc la limite en 0 est l'infini, non ?
D'où l'asymptote verticale ...

[hellow3]

T'as raison, j'avais mal lu.
Milles excuses.

[hellow3]

Pour le 3. Je crois aussi qu'il y a une erreur. C'est plutôt l'inverse.
n>n' implique Cn
Pour le 4. Je voudrais pas te redire une annerie, mais je crois que c'est classique. Dérivée et son signe pour trouver le sens de variations et les extremas de fn.

[Anonyme]

Pour la dérivée,
j'obtiens fn'(x) = 1 - n/2V(x)
et fn'(x) = 0 pour x = n²/4
mais je ne vois pas comment j'obtiens le signe
de fn'(x) ...

Par ailleurs, pour la limite en +infini,
on considère la limite du terme de plus haut degré,
donc ici je suppose que l'on a :
lim fn(x) = lim x

[hellow3]

Pour obtenir le signe de la dérivée il faut remplacer ton = par un >.
fn'(x)>0 equivalent à x - n*V(x)>0 ...

Pour la limite, je pense comme toi.

[Anonyme]

Je comprends,
et j'imagine que le minimum relatif
an est égal à fn(n²/4), soit -n²/4
si je ne me suis pas trompé avec la dérivée.

Mais je ne vois pas vraiment comment montrer
que tous les points An sont alignés ...

[hellow3]

Qqsoit an, on sait qu'il a ses coordonnés de la forme (n²/4,-n²/4).

Ils appartiennent donc à l'ensemble des points (x,-x).
i.e. y=-x.

[Anonyme]

Ah oui, je vois ...
Pour la 6), j'ai réussi
en résolvant l'équation fn(x) = 0
et l'on trouve bn = n² = 4an

Et pour la 7)
je pense qu'il faut calculer
fn'(bn),
soit 1 - n/2V(n²) = 1 - 1/2 = 1/2
Donc fn'(bn) = 1/2 pour tout n,
Or fn'(bn) est le coefficient directeur
de la tangente en Bn.

Voilà, j'espère que c'est bon.

Merci beaucoup pour ton aide.

[hellow3]

Impecable.

De rien.