Famille libre

par **juju78** » 14 Mar 2009, 13:05

Bonjour

On a :
(2a + 1)x - ay - az = 0

2ay - z = 0

x - ay + (1 - a)z = 2

On me demande a quelles conditions sur a, la famille constituée des vecteurs v1; v2; v3 est elle libre ? que peut t'on déduire sur A(a)?

On sait qu'une famille est libre ssi pour tout

,

= 0 implique

par **uztop** » 14 Mar 2009, 15:01

Bonjour,

est ce que tu as essayé de résoudre le système ?
On peut presque toujours déterminer x,y et z de façon unique par rapport à a, et on ne peut donc pas avoir de famille libre.
Reste maintenant à étudier les cas particuliers où on ne peut pas résoudre le système.

par **juju78** » 14 Mar 2009, 15:07

Si a=0 > systeme indeterminé?

Si a=-1/2 ou a=1 > systeme impossible

Si a different de 0, -1/2, 1 : syteme de Cramer ?

par **uztop** » 14 Mar 2009, 16:45

quand le système est indéterminé, ça laisse des degrés de liberté et on peut donc avoir une famille libre.
Sinon, quand le système est impossible, ou quand il a une solution unique, on ne peut pas avoir de famille libre.

par **juju78** » 14 Mar 2009, 16:50

toutefois je crois m'etre trompé pour a=0 ce serait plutot impossible non?

Je n'ai aucun moyen de verification et je ne suis pas sure pouvez vous m'aider ? :$

par **uztop** » 14 Mar 2009, 17:05

oui, pour a=0, le système devient
x=0
-z=0
x+z=2
ce qui est impossible.

Sinon, pour a=-1/2, je n'ai pas l'impression que le système est impossible (sauf erreur de calcul)

par **juju78** » 14 Mar 2009, 17:12

ben il me semble, sur la derniere ligne de calcul j'ai

0 0 2a²-a-1 | -4a-2

donc si a=-1/2 c'est impossible ?

par **uztop** » 14 Mar 2009, 17:19

je comprends pas ce que tu as écrit.
Voilà ce que j'ai fait: pour a=-1/2, le système devient:
y/2+z/2=0
-y-z=0
x+y/2+3z/2=2
Ce qui donne une infinité de solutions.

par **juju78** » 14 Mar 2009, 17:25

j'ai utilisé gauss et la resolution sous forme matricielle pourtant

par **uztop** » 14 Mar 2009, 17:27

si tu as trouvé un déterminant nul, ça ne veut pas dire que le système est impossible, il peut aussi avoir une infinité de solutions (ce qui est le cas ici)

par **juju78** » 14 Mar 2009, 17:34

dans notre cours il y a écrit que lorsqu'il y a une ligne de 0 et que la solution est differente de 0 alors c'est impossible

par exemple on ne peut avoir 0x+0z = 3

par **uztop** » 14 Mar 2009, 17:39

oui en effet, mais sauf erreur de ma part, on ne tombe pas sur une ligne de 0

par **juju78** » 14 Mar 2009, 17:42

a oui effectivement , merci! :)
Par ailleurs le systeme admet bien une unique solution pour a different de 0 de -1/2 et de 1 ? (on demande pas de la determiner)

et donc pour a= -1/2 le systeme est indeterminé, et comment faire pour la famille libre.?

par **uztop** » 14 Mar 2009, 18:09

excuse moi, je me suis un peu embrouillé (je suis parti sur la résolution du système alors que ce n'était pas vraiment la question posée...)
Bon, ce qu'il faut faire ici, étant donné que tu as autant de vecteurs que la dimension de l'espace, c'est de calculer le déterminant du système. S'il est non nul, la famille est libre.
Un déterminant non nul, c'est équivalent à une solution unique du système, donc tu as la réponse (mais on n'a probablement pas choisi la solution la plus rapide)

par **juju78** » 14 Mar 2009, 18:14

Mais ça va dependre de a , quelles valeurs prendre pour a ?

par **uztop** » 14 Mar 2009, 18:25

tu dois trouver les valeurs de a pour lesquelles la famille est libre, c'est à dire pour lesquelles le déterminant est non nul.
On a vu que celui ci est non nul pour a différent de 0, -1/2 et 1.
C'est donc la réponse à la question posée ici.

par **juju78** » 14 Mar 2009, 18:35

La question exacte etait : a quelles conditions sur a, la famille constituée des vecteurs v1; v2; v3 est elle libre ? que peut t'on déduire sur A(a)?

Les conditions sont que a soit different de 0 -1/2 et 1
Mais que peut t(on déduire sur A(a) ?

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