Factorisation a^x-b^x, aide pour dm sur le nombre d'or...

[Xhampi]

Existe t'il une quelconque factorisation d'une forme de type ?
A mon avis non, mais je suis sur un dm sur le nombre d'or et je sais vraiment plus quoi faire...

Avec du calcul de matrice, on arrive à :



A partir de là, on nous demande de justifier la limite de , qui est bien sur le nombre d'or.
Et après plusieurs page de calculs, sans doutes inutiles, j'ais à un endroit une forme du genre que j'aurais aimer factoriser... Mais si quelqu'un peut m'aider autrement, je l’accueille à bras ouvert!

[siger]

bonjour

oui bien sûr, puisque a = best une solution on a toujours
a^x - b^x = (a-b)(a^(x-1)+ ..... + b^(x-1))
mais je ne pense pas que cela puisse t'aider dans ce cas.....

en posant
1/V5 =a
(1+V5)/2= x
(1-V5)/2 = y
et y/x = z = x-2
u(n+1) /un = [ax^(n+2) -ay^(n+2)]/[ax^(n+1)-ay^(n+1)]
=x* [1- z^(n+2)]/[1- z^(n+1)]
.......

[Xhampi]

Je ne comprend pas comment vous passez à , sachant qu'on a pas mais ...
Et pourquoi passer à 1-z^(n+1) au dénominateur, alors que pour factoriser une fraction on ne factorise qu'au numérateur non?

[siger]

Je ne comprend pas comment vous passez à , sachant qu'on a pas mais ...
Et pourquoi passer à 1-z^(n+1) au dénominateur, alors que pour factoriser une fraction on ne factorise qu'au numérateur non?

on met x^(n+2) en facteur au numerateur
.... x^(n+2) *( 1-[y^(n+2)/x^(n+2)]) = x^(n+2)*(1-z^(n+2))
de même on met x^(n+1) en facteur au denominateur
...x^(n+1) *(1-z^(n+1))
il reste.......

[Xhampi]

Ha oui bien vu, je n'aurais sans doute jamais trouvé! Un grand merci à vous ;-)