c'est pas franchement ça. Ce qui est systématiquement vrai (dans ZF), c'est qu'il existe une injection mais pas de bijection de N dans P(N). Dit avec des mots imagés (qui peuvent prêter à confusion), cela signifie que N et P(N) sont forcément comparables (alors que sans l'axiome du choix il peut exister des ensembles non comparables), et que P(N) est forcément "plus gros" que N. Par contre, est ce que P(N) et "le suivant" de N, c'est à dire est-ce que c'est le "plus petit" ensemble strictement "plus gros" que N, ben là, il n'y a pas de réponse dans ZF, ni dans ZFC : on n'a pas assez d'hypothèses concernant le "monde imaginaire" des ensembles infinis pour pouvoir répondre à cette question. Donc on peut, si on veut, rajouter comme hypothèse concernant notre "monde imaginaire" que P(N) est bien le "suivant" de N. Mais on peut bien sûr aussi rajouter comme hypothèse que, dans notre "monde imaginaire" P(N) ce n'est pas le "suivant" de N, mais, par exemple, le suivant du suivant du suivant c'est à dire .marcheur a écrit:la seule chose qui puisse dépasser N c'est de prendre en considération les parties de N.
ça ne veut évidement rien dire : N c'est un cardinal non fini donc ce n'est pas un nombre, mais un objet très théorique qui vit dans notre fameux "monde imaginaire des mathématiques" (axiomatisées) et le "suivant" au sens des cardinaux (qui ne se note pas N+1, qui, lui serait plutôt le suivant au sens des ordinaux), ben ça fait 3 fois que je te le dit : dans l'axiomatique de ZF ou de ZFC, vu les seules hypothèses qu'on a fait sur notre monde imaginaire, ben on ne peut pas savoir qui c'est. Dit autrement, parmi les différents mondes imaginaires vérifiant les axiomes de ZFC, dans certains d'entre eux, le suivant de N, ça va être P(N), mais pas dans tous. Et je t'ai déjà aussi écrit dans un message précédent que dans la théorie des cardinaux, tout ce qu'on sait, c'est que P(X) (X ensemble quelconque) est toujours "strictement plus gros" que X ce qui montre principalement qu'il existe des ensembles infinis "de plus en plus gros"marcheur a écrit:Ok, mais ma question était plus générale, à savoir par ex :
est-ce que ''le plus petit nombre au delà de N'' (donc sûrement que cela s'écrit N + 1), est-ce que ça c'est sans considération au fait qu'il y a des parties de N.
Je t'ai donné (1er message) les définitions usuelle de ce que sont les cardinaux. Y voit-tu une référence à l'ensemble des parties d'un ensemble donné ?marcheur a écrit:En aussi d'une manière générale encore : peut-on parler de cardinaux ou d'ordinaux sans faire appel à une quelconque notion de parties concernant les ensembles ?
Je viens de regarder le laïus en question et je ne comprend pas ce que tu veut dire par "qui ne font pas appel à". Ce que dit le bidule, ben c'est ce que je t'ai dit précédemment, c'est à dire que le fait que P(X) est "strictement plus gros" que X implique évidement qu'il existe des cardinaux infinis de plus en plus grand. Mais ce n'est bien évidement pas parce qu'on utilise ce fait (que P(X) est > X) que ça veut dire qu'on a besoin de la notion "ensemble des parties" pour définir les cardinaux.marcheur a écrit:Par exemple ici, on peut penser qu'il n'y a pas de cardinaux infinis qui ne fassent appel à la notion de ''parties d'ensemble (s)''
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